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第二讲 配套习题及答案 1.若效用函数现为： （） 其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。 计划者目标函数为： 代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题： 一阶条件为： 求解可得： 代进生产函数可得： 企业利润函数为： 企业利润最大化的一阶条件为： 利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为： 2.假设行为人的效用函数如下：，其中是行为人的消费，是行为人每天用于闲暇的时间。行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。他为自己工作时的产出函数为，其中为用于自己工作的时间。如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为（当然是用消费品衡量的）。试写出该行为人的最优化问题，并求解之。 代约束条件进目标函数，分别对和两个变量求一阶导数，并令其为零，有： 求解上述联立方程，可得： 3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下： 其中，是消费，是闲暇，且。消费者拥有一单位的时间禀赋和单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示： 其中，是产出，A是全要素生产率，是资本投入，是劳动投入，且。记为市场的实际工资，为资本的租金率。 a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。 b.试分析全要素生产率A的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。 解：a.第一步，分析消费者行为： 代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。 对求一阶导数，并令其为零，可得： 第二步，分析企业的行为： 根据市场出清条件，可得如下方程组： 求解得： 第三步，全部均衡解： 或者，考虑计划经济情形： 代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题： 对求一阶导数，并令其为零，可得： 解得： b. 说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。 4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表： 这里，是消费；是闲暇；是政府购买；。消费者拥有一单位的时间禀赋。私人消费品的生产技术如下： 这里，是产出，是劳动投入，。假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。 （1）对于一个给定的，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这些均衡数量是帕累托最优的。 （2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。 （3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的。也就是说，政府将选择一个合适的去最大化代表性行为人的福利。试求解最优水平的政府购买数量。 解： （1）在给定时，消费者的最优规划问题可以表述如下： 代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题： 该最大化问题的一阶条件为： 利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数： ， 可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。也可以注意到，闲暇和消费都随的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。 从企业的利润最大化问题中，我们能得到： 竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡： 代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数量： ， ， 注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，。利用或者商品市场出清条件，，或者生产函数，，并与上述均衡数量相结合，可以求得均衡产量： 给