高中奥林匹克物理竞赛解题方法之十四近似法资料.docVIP

例1：一只狐狸以不变的速度沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度 其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在时间内，设狐狸与猎犬分别 到达，猎犬的速度方向转过的角度为/R 而狐狸跑过的距离是：≈ 因而/R≈/L，R=L/ 所以猎犬的加速度大小为=/L 例2 如图14—2所示，岸高为，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为时，收绳速率为，则该位置船的速率为多大？ 解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在角位置经时间向左行驶距离，滑轮右侧的绳长缩短，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有= 两边同除以得：，即收绳速率 因此船的速率为 例3 如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式 若取绳圈上很短的一小段绳AB=为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为和（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为，根据牛顿第二定律有：； 因为段很短，它所对应的圆心角很小所以 将此近似关系和 代入上式得绳中的张力为 例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值. 解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为 、、，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间记为，再从B到C的时间为，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为，由题意知，可得：：=3：4：5， 由此能得与的关系. 因为 所以 因为：=3：4，所以 小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为，经各水平段所需时间之和记为，则从A到C所经时间总和为，最短的对应的下限，最长的对应的上限 小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时最短，其值即为，故= 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，这两个小量之间恒有，角即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于、均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量与之间有如下关联： 于是作为之和的上限与作为之和的之比也为故的上限必为，即得： 这样=7:5 例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点A、B固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A、B连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判 断它是否将做简谐运动？ 解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）. 以AB中点为原点，过中点且垂直于AB的直线为轴，如图14—5—