第3章有限差分法.docVIP

有限差分法 波动方程式的差分法（线性双曲线方程） 即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation） （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 1 ） （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 2 ） 从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。 理论解： 物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波） f(x) c f(x-ct) ct （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 3 ） （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 4 ） 其中： （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 5 ） 例： （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 6 ） 即 （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 7 ） 其解为： （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 8 ） xu x u 1 x0 显式法 对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method）。 FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法 （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 9 ） 则能产生： （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 10 ） 变形后: （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 11 ） 这儿，? 为Courant 数。 （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 12 ） Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度(?x/?t)的比值。 该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值?x/?t保持一致时，不管?x和?t取多小，其影响的范围是一样的。 当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安定。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。 xt x t Tan-1(?t/ ?x) 物理速度走的路程（Cu1） 数值速度走的路程 物理速度走的路程（Cu1） FTCS法的解的发展 即Courant 条件为（CFL条件） （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 13 ） 但是波动方程不能由此方法判别的例子有： （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 14 ） 此问题有理论解，如图。例如，?＝0.5时，时间步长为1/2?x。 xu1 x u 1 x0 x u 1 x0 解析解 FTCS的解 表1 FTCS的解 （?＝0.5） xj-2 xj-1 xj xj+1 xj+2 t=0 1 1 0 0 0 t=1 1 5/4 1/4 0 0 t=2 15/16 23/16 9/16 0 0 t=3 53/64 49/32 75/64 13/64 0 其值是振荡不稳定的。随着时间的延续，振幅增加，甚至在正负值间振荡。此问题可从分析其差分方程的Fourior展开