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有1分配格的若干种等价定义

第 28卷第 5期 大 学 数 学 Vo1.28,№ .5 2012年 10月 COLLEGE M ATHEM ATICS Oct.2O12 有 1分配格的若干种等价定义 吴妙玲 (内蒙古工业大学 理学 院 数学系 ,呼和浩特 010051) [摘 要]对有单位元 1的分配格 ,给 出若干种等价定义,并根据分配格所满足的幂等律、交换律、结合 律 、吸收律和分配律证 明了必威体育精装版定义与原始定义的等价性. [关键词]单位元 ;分配格 ;等价性 [中图分类号]0t53 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2012)05—0106—04 英国数学家古德斯坦因曾经给出了有 1分配格的四条件定义 ,以此为基础 ,我们开始研究有 1分 配格 ,相继得 出几种不同条件的等价定义 ,每一种新定义总是 比前一种定义在等式个数、等式长度以及 变量个数方面都更少 ,这是我们的原则和努力方向.下面是有 1分配格的若干种等价定义. 1 原始定义 1.1 有 1分配格的等式定义. 定义 1.1 定义 了二元运算 V,八 的非空集 L称为有 1分配格 ,若 Vn,b,c∈L下列六条件 成立[. (1.1)幂等律 aVa—a,a^a—a; (1.2)交换律 aVb—bVa,a^b—b八a; (1.3)结合律 (aV6)V C—aV (bVf),(0^6)^C一 “^ (6八f); (1.4)吸收律 aV (n^6)一a,a^ (nV6)一a; (1.5)分配律 Ⅱ^ (6Vc)一 (a^6)V (0^f); (1.6)有 1性 存在单位元 1,使得 aV 1—1Va一1,a^1—1八a—a. 定理 1.1 对任意格 L,以下条件等价: (1.7)a八 (bV c)一 (a ^ 6)V (a 八 C); (1.8)aV (6 ^ C)一 (口V b)^ (n V c); (1.9)(口V b)^ (bV C)^ (fV “)一 (n ^6)V (b^c)V (f^a). 证 (1.7)㈢ (1I8).由于 (1.7)和 (1.8)互为对偶 ,只须证明(1.7) (1.8)即可. (nV 6) ^ (ⅡV f)一 ((nV 6) ^a)V ((ⅡV 6)^ f) 一a V (a ^f)V (6^C)一口V (6^c). (1.8) (1.9).利用结合律 、交换律和吸收律,得 (n ^6)V (6八 c)V (c^a)一 (nV bV c)^ (aV 6)人 (bV c)^ (fV a) 一 (aV6)^ (6V c)^ (CV a). (1.9)=(1.7).在 (1.9)中取 a≥ c得到 (n^6)Vc—a^ (6Vc)(模律). [收稿 日期]2OlO一04—22; [修改 日期]2OlO—lO一09 [基金项 目] 内蒙古工业大学科学研究项 目(ZD200918) 第 5期 吴妙玲 :有 1分配格的若干种等价定义 1O7 利用交换律、吸收律和模律 ,有 n ^ ((口V 6)八 (6V C)^ (fV a))一a ^ (bV f), a^((n^6)V (6^f)V (f^a))一 (口八6)V (C八n)V (口^b八c)一 (“^b)V (&八c), 所 以 a ^ (6V c)一 (n八 6)V (n八 C). 由定理 1.1还可得到有 1分配格的以下两种定义。。。. 定义 1.2 定义了二元运算 V,^ 的非空集 L称为有 1分配格 ,若 Va,b,f∈L,条件 (1.1), (1.2),(1.3),(1.

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