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求值域的方法 求值域方法选讲 求值域方法选讲 ? 常用求值域方法 一、 分析法：利用已有的基本函数的单调性得出所求函数的值域. 二、 换元法：通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 三、 分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数 单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域． 四、 反解法：在某些函数解析式中，自变量是一个有界值，可将自变量反解出（用y表示），利用其有界 性建立关于y的不等式，求出y的范围，即为函数的值域. 五、 其他方法（导数法） a ? 常用工具函数：双勾函数 y?x?(a?0) x ? 典型例题选讲 例1、（1）求函数 y?3?x的值域。（分析法） 答案：值域是 (??,3] （2）求函数y?x??x?3的值域. 变式1（1）函数y? 1 {y0?y? 解： 2 12?x 2 析法） 的值域.（分 （2）求函数y?x?3?x?的值域 例2、求函数y?2x?3?4x?13的值域。（????）（配方法、换元法） 解：y? 11 4x?6?24x?13??4x?13??24x?13?7 22 2177 4x?13?1?3，所以y?，故所求函数值域为[，+∞]。 = 222 ???? ? 变式2、（1）求f(x)?x （换元法） ?t?0，则x?1?t(t≥0)， 2 ?1?55 f(x)?f(1?t2)?1?t2?t??t???≤， ?2?44 所以函数值域为????． (2)求函数y?x??2x的值域。 解：由1?2x?0，得x? 2 ??5?4? 1 。令?2x?t?t?0? 2 11?t21?t212 ?t???t?1??1，因为t?0，所以y?。故所求函数值域为[- 得x?，于是y? 2222 1 ∞，]。 2 评注：利用引入的新变量t，使原函数消去了根号，转化成了关于t的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域． 例3.求函数f(x)? x?1 的值域 x?1 函数 f(x)? x?1 的值域为?yy?1? x?1 x?1 x?[2,3]的值域 x?1 2x?1 的值域 3x?1 变式1.求函数 f(x)? 思考：求函数 f(x)? 1?x2 例4.求函数 f(x)?2的值域 x?1 1?x?x2 变式4、求函数y?的值域． 1?x2 解：原函数化为关于x的一元二次方程(y?1)x2?x?y?1?0． （1）当y?1时，x?R，??(?1)?4(y?1)(y?1)≥0，解得（2）当y?1时，x?0，而1???． 22故函数的值域为??． 22 2 13≤y≤； 22 ?13? ?? ?13? ?? x2-2x?3 例5.求函数 f(x)?的值域 xx2?2x?2 (x??1)的值域 变式5、求函数y? x?1 (x?1)2?11 ?x?1??2(?x??1) 解：原函数可化为 y? x?1x?1 当且仅当x?0时取等号，故值域为?2,??? 评注：在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；使用此法须在x?R或仅有个别值（个别值是指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y值，若在求出的值域中则应除去此y 1?x?x2 3)的值域，则不能使用此方法． 值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数y?，x?(2， 1?x25x2?8x?5 1、求函数y?的值域. x2?1 2、求函数y? 的值域. x?2x?2 2 2 5、已知函数y=f(x)=2x?bx?c?b?0?的值域为[1,3],求实数b,c的值. x2?1 求y? x?1 的值域. x?2 x?2?33 ?1??1 ，可得值域?yy?1? x?2x?2ax?b (c?0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为小结：已知分式函数y? cx?d 解：（利用部分分式法）由y? ? ?yy??a??； c? b? ad a(ad?bc)，如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为y?? ccx?d 用复合函数法来求值域。 【例题综合分析】 例1、求下列函数的值域： （1）y?3x?x?2； （2 ）y?； （3）y? 2 3x?1 ； x?2 （4 ）y?x? （5 ）y?x （6）y?|x?1|?|x?4|； 1?sinx2x2?x?22x2?x?11 (x?)； （9）y?（7）y?2； （8）y? 2?cosx2x?12x?x?1 解： （1）法一：公式法（略） 法二：（配方法）?y?3x?x?2