小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座.docVIP

小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座 篇一： (竞赛辅导)奥林匹克数学的技巧(上篇) 奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理??），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用an表示这位棋手在第1天至第n天（包括第n天在内）所下的总盘数（n?1,2,…77），依题意 1?a1?a2…?a77?12?11?132 考虑154个数： a1,a2,…,a77,a1?21,a2?21, a77?21 又由a77?21?132?21?153?154，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i?j时，ai?ai ai?21?aj?21 故只能是ai,aj?21(77?i?j?1)满足 ai?aj?21 这表明，从i?1天到j天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知x,y,z为正数且xyz(x?y?z)?1求表达式(x?y)(y?z)的最最小值。 ?a?x?y?解：构造一个ABC，其中三边长分别为?b?y?z，则其面积为 ?c?z?x? ??1 另方面(x?y)(y?z)?ab?2??2 sinC 故知，当且仅当C=90°时，取值得最小值2，亦即(x?y)2?(y?z)2?(x?z)2 取最小值2， 如x?z?1,y?1时，y(x?y?z)?xz时，(x?y)(y?z) (x?y)(y?z)?。2 2-7-2映射 它的基本形式是RMI原理。 令R表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x，令M表示一种映射，通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像x的映象x*。如果有办法把x*确定下来，则通过反演即逆映射I?M?1也就相应地把x确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。 建立对应来解题，也属于这一技巧。 例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，?直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 。 解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A1，A2，?，A7和B1，B2，?B7。 如果甲方获胜，设Ai获胜的场数是xi，则0?xi?71,?7i?而且 x1?x2?…?x7?7（*）容易证明以下两点：在甲方获生时， （i）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数解； （ii）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：A1胜B1和B2，B3胜A1，A2和A3，A4胜B3后负于B4，A5胜B4，B5和B6但负于B7，最后A6胜B7结束比赛。 7故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整数解的个数C13。 解二建立下面的对应； 集合?A1,A2,…,A7?的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程，且这种对应也是一个一一对应。例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是?A1,A2,A3,A4,A5,A6?所以甲方获胜 77的不同的比赛过程的总数就是集合?A的7-可重组合的个数,A,…,AC?C?7?7?113。 127 例2-130 设pn(k)表示n个元素中有k个不动点的所有排列的种数。求证?kp(k)?n! n k?0n 证明 设S??a1,a2,…,an?。对S的每个排列，将它对应向量(e1,e2,…,en)，其中 每个ei??0,1?，当排列中第i个元素不动时，ei?1