必威体育精装版高考数学解题技巧大揭秘 专题4 导数的简单应用及定积分.docVIP

专题四 导数的简单应用及定积分 1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1 答案： A　[y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以三角形面积S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，故选A.] 2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析　曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案　2x－y＋1＝0 3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ln x，x＞0，,－2x－1，x≤0，))D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________． 解析　当x＞0时，求导得f′(x)＝eq \f(1,x)，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2. 答案　2 4．计算定积分eq \i\in(,1,)－1(x2＋sin x)dx＝________. 解析　eq \i\in(,1,)－1(x2＋sin x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－cos x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq \f(2,3). 答案　eq \f(2,3) 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义． 2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式． 3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法． 首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解. 必备知识 导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)． 基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈R) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,x ln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)； ③eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(u?x?,v?x?)))′＝eq \f(u′?x?v?x?－u?x?v′?x?,[v?x?]2)(v(x)≠0)． (3)复合函数求导 复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)． 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y＝f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；②若已知y＝f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解． 