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二重积分的计算 ——习题解析与相关练习 * . 作业 P366 利用极坐标计算二重积分 其中D是由圆周 及直线y= 0，y= x所围成的在第一象限内的闭区域。 解： 在极坐标系中， 于是 * [知识整理] （1） 直角坐标系下二重积分的计算 I、 x 型区域（先y后x） II、 y 型区域（先x后y） * （2） 极坐标系下二重积分的计算 III、方法与步骤 ① 绘出区域D的图形： ② 确定积分限： ③ 计算积分： ④ 利用奇偶性简化运算。 * 计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。 对 有 x y D关于x、y轴对称 ? f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数） y x 注： * 例1 求以xOy面上的圆域 为底， 圆柱面 为侧面 ， 抛物面 为顶的曲顶柱体的体积。 并在极坐标系下求其二重积分值 x y z O 2 解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为 其中积分区域D可表示为 * 由D的对称性及被积函数 关于x，y均为偶函数可知 其中 为D在第一象限部分，于是 * 解法2：（极坐标系下解） 在极坐标系中，闭区域D可表示为 于是 * 例2 计算二重积分 D是顶点分别为 的三角形闭区域 解： x y D * 续解 * 例3 计算二重积分 其中 解： x y D1 D2 -1 -1 1 1 如图 因此 * 【相关练习】 ① ② ③ D为圆域 D为半圆域 * 例4 把下列二重积分 化为二次积分 （写出两种积分次序） 积分区域为抛物线 与直线 及x轴所围成的闭区域 x y D 解： 解方程组 得 1 所以 * 例5 化出积分区域，把积分 表示为极坐标形式的二次积分 r x y O 解： 如图，在极坐标系中， 所以 a a -a * 【相关练习】 ① 交换二次积分的次序 ② 把积分化为极坐标形式 * 例6 【平均利润问题】 设公司销售商品甲x个单位，商品乙y个单位的利润是由下列函数式确定： 现已知一周内甲商品的销售量在150～200之间变化，乙商品的销售量在80～100之间变化，试求销售这两种商品一周的平均利润。 * 解： 因x,y的变化范围D:150≤x≤200,80≤y≤100,这个区域D的面积为 这家公司销售两种商品一周的平均利润是： * 作业：习题9—2 P369 14、 15、 * *