局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性.PDF

中国科学 数学 年 第 卷 第 期 局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性 钱斌 常熟理工学院数学与统计学院 常熟 收稿日期 接受日期 国家自然科学基金批准号 资助项目 摘要 本文得到了曲率维数条件CD(ρ, ∞) 和CD(0, n) 与相应的局部传输信息不等式的等价性. 关键词 传输信息不等式 曲率维数条件 半群 主题分类 引言 设(M, d) 为完备无边Riemann 流形, 我们首先回顾M 上两个概率测度µ 和ν 之间的Wasserstein 距离: W (ν, µ) = inf √∫ d (x, y)dπ (x, y), 其中 “inf ” 是对满足如下条件的概率测度π 取得, 对M 上的任意有界可测函数f, g, π 满足 ∫ f (x) + g (y)dπ (x, y) = ∫ fdµ + ∫ gdν. 对一个扩散算子L := ∆ + ∇ϕ · ∇, 我们有如下的定义 (见文献 [1]), 对任意足够光滑的函数f, g, 1 Γ(f, g) = |∇f | = (Lfg − fLg − gLf ), 2 1 Γ (f, f ) = (LΓ(f, f ) − 2Γ(f, Lf )) = |∇∇f | + (Ric − ∇∇h)(∇f, ∇f ), 2 其中Ric 表示流形M 的Ricci 曲率. 记Γ (f ) = Γ (f, f ). 我们称一个扩散算子L 满足如下的曲率维数条件CD(ρ, ∞) (见文献[1]), 若对任意的f ∈ C (M ), Γ (f ) ρΓ(f, f ), 我们称L 满足有限曲率维数条件CD(0, n), 若对任意的f ∈ C (M ), 1 Γ (f ) (Lf ) . n Bakry 及其合作者 (见文献 [1–3]) 建立了众多泛函不等式和曲率维数条件CD(ρ, ∞) 和CD(0, n) 的等价性. 我们首先来回顾部分结果: 英文引用格式 钱斌 局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性 定理 设P 为L 生成的算子半群, ρ 为任意实数, 下列命题等价: (1) 曲率维数条件CD(ρ, ∞) 成立; (2) 对任意的f ∈ C (M ), 我们有Γ(P f, P f ) exp(−ρt)P (Γ(f, f ) ); (3) 对任意的f ∈ C (M ), 我们有P (f ) − (P f ) P (Γ(f, f )); (4) 对任意的f ∈ C (M ), 我们有