导数中若干基础问题的对策代宗山导数是高中数学中重要的一章.DOC

导数中若干基础问题的对策 代宗山 导数是高中数学中重要的一章，也是高考数学中重点考察的一章，因为这一章对学生的思维能力和运算水平有非常高的要求，所以它有非常好的区分度。因此，对这一章的内容我们要有系统的把握和灵活的运用，才能在高考中立于不败之地。 导数是研究函数性质的工具，准确的讲就是函数的单调性，以及函数的极值和最值，它是前面基本函数的图像和性质的补充，一个误区：学了导数后，见到函数就求导。那什么函数才求导呢？不是基本函数，或者说不能转化为基本函数的函数，比如三次多项式，由对数函数和指数函数与一次，二次函数构成的函数. 常见问题及对策： 首先是导数的定义和切线问题，要明确导数产生的背景：瞬时速度，切线等，它其实就是函数的瞬时变化率。它的几何意义：函数在某点处的导数就是过这一点的切线斜率. 1.瞬时变化率问题 对策：理解导数背景，抓住函数，平均变化率，瞬时变化率求解. 例1 圆半径以3cm/s的速度膨胀，当半径为4cm/s时，求表面积的变化率 分析：半径随时间变化，表面积随半径变化，表面积是时间的函数；求的是半径为4这个时刻的瞬时变化率，即导数. 解：设圆半径为，则，，则，当时，即，此时，故表面积的变化率为cm/s. 2.切线问题 对策：一分清是函数曲线在某点处的切线还是过某点的曲线切线，二求明白求切线，关键求切点，三建立求切点横坐标的方程. 例2 已知曲线，求过点（0，1）且与曲线相切的切线方程. 分析：关键求出切线斜率，斜率就是函数在切点处的导数，那切点怎么求？ 解：设切点坐标为，又，当时，，则切线方程为：，因为切线过点（0，1），所以，化简得，解得，故所求切线方程为. 3.导数的运算问题 对策：记清公式和法则是前提，在具体情境中合理运用才是关键. 例3 求下列函数的导数：（1）；（2）. 分析：怎么求导？求繁了要求错，一问用积的求导法则：二问先化简再求导. 解：（1）= （2）， 其次导数研究函数的性质。导数与函数单调性的关系，导数与函数极值关系：极值点是导数为零的点，它也是函数单调区间的界点，求极值和求单调区间其实是一致的。最值是极值与端点值比较的结果. 4.三次函数的单调性极值问题 对策：这是导数研究函数的起点，一定要切实掌握，并且要把数与形结合起来。应由具体问题归纳出：当，两个极值点，三个单调区间：当，无极值点，在上单调. 例4 已知函数的最大值为3，最小值为-29，，求的值．上单调性，注意条件. 解：，令，得（舍）. 当时，因为，所以最大值，又，所以最小值=-29，，这与矛盾，舍去； 当时，因为，所以最小值，又，所以最大值=3，，满足，故. 5.求含参函数的单调区间的问题 对策：求单调区间，等于解一个不等式，根据函数不同，可能解的是一元二次不等式，或指数，对数不等式。因为含参，所以要分类讨论. 例5 设函数f(x)= 求f(x)的单调区间. 分析：实际上解一元二次不等式，需要讨论两根大小. 解：由已知得，令，解得 ， 当时，，在上单调递增； 当时，因为 所以函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. 6.已知单调性确定参数取值范围 对策：根据导数与单调性关系，转化为不等式恒成立问题. 例6 已知在上是单调减函数，求的取值范围. 分析：根据，求出，注意条件. 解：，因为在上是单调减函数，所以，即，令，而，故 . 7.函数零点（方程根）的问题 对策：数形结合，抓住函数极值点求解. 例7已知定义在上的奇函数，当时，.若函数在上恰有5个零点，求实数的取值范围. 分析：因是奇函数，且定义域为，故时，应有两个零点. 解一：（），当时，因为，所以在单调递增，至多有一个零点；当时，令，得，因为，所以.由题设可知，时，应有两个零点，故，得.因而的取值范围.为. 解二：可分离参数（略）. 8.不等式的证明问题 对策：构造函数，转化为求函数最值. 例8 求证：. 分析：移项， 得到一个函数 f(x). ，可得，当，得.因为，所以.故，即，从而. 9.有关最值的应用问题 对策：建立函数模型，用导数求最值. 例9圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？，高为，依题意，，可得.而=（）,,令，得.因为，所以当， 时，有最小值。此时所用的材料最省已知函数。 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。解：（Ⅰ） 令，得，结合函数图像，讨论一下抛物线开口，易知函数单调区间. （Ⅱ）当k0时，（Ⅰ）在（0，）单调递减，在（，）单调递增，因为，所以不会有 当k0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 所以等价于解得故当时，k的取值范围是当k0时，且时，，所以不会都有≤有关，取可以，取也可以. 当k0时