J-周期环及其扩张.pdfVIP

第 12卷第 4期 杭州师范大学学报 (自然科学版 ) V01．12NO．4 2013年 7月 JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Ju1．2013 周期环及其扩张 马 彪 (杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036) 摘 要：定义 了J-周期环 ，推广 了周期环．首先，讨论J_周期环的一些基本性质 ，如 周期环的商环、子环 以 及 ，一‘周期环与周期环的关系．然后 ，给出 周期环 的一些扩张，并证 明环 的 周期性与其上的幂级数环、广义矩 阵环、上三角矩阵环的 ．，一周期性是等价 的． 关键词 ：周期环 ；J一周期环 ；Jacobson根 ；广义矩阵环 ；扩张 中图分类号 ：O153．3 MSC2010：13M05 文献标志码 ：A 文章编号 ：1674—232X(2013)04—0354—05 1 基本性质 设 R是含单位元 1的结合环 ，N(R)，J(R)，c(R)和U(R)分别表示环R中所有幂零元组成的集合 ，R 的Jaeobson根，R的中心和尺 中所有可逆元．环中元素z叫做 potent元 ，如果存在整数 1使得 z一z 成立．环 R叫做 potent环 ，如果 R中元素都是 potent元．Jacobson[】证 明了所有 的potent环都是交换环． 如果存在两个不相等的正整数m，n使得z 一 成立 ，则环 中元素z叫做周期元．如果R中元素都是周期 元 ，则环 R叫做周期环．显然 ，周期环是 potent环的推广 ，但周期环可 以是不交换 的，例如 (Z)．周期环 的一个经典刻画由Chaeron[2给出，其指出一个环R是周期环当且仅 当对R任意的元素 都存在一个正 整数q和一个整系数多项式厂()Ez[]使得 Xq一．z¨厂(z)．不难验证 ，z一 EN(R)能够得到 Xq—z f ()，而 z一 EN(R)又等价于z --X”EN(R)．因此，环 R是周期环当且仅当存在不同的正整数 ，使 得 --XEN(R)．在上述条件中用 J(尺)代替N(R)，我们得到新的一类环，它包含了所有的周期环． 定义 1 环 R叫做 一周期环，如果对任意一个 ER存在两个不同的正整数m，使得 lz 一 EJ(R)． 注 该定义等价于说R是 一周期环当且仅当R／J(R)是周期环． 例 1 显然任何一个周期环都是 周期环 ，但反过来不成立．由于所有的有 限环都是周期环，我们必 须构造一个无限的．厂一周期环．令R一Ⅱ Z 因为对每个正整数 环Z 都是局部环并且 J(Z )一2Z 所以有 J(R)===Ⅱ J(Z )一I1 2Z。．显然，R／J(R)三三三Ⅱ Z。是一个 Boole环 ，因此R是一个 一周期 环．对于任意的z一(z，…，z，…)ER其 中zEZ。z，如果存在不同的正整数 k，z使得 一 ，那么必有 X一 对所有的i都成立．但是当 ／max{k，z)时，在环Z 中2≠2，因此 R不是周期环． 收稿 日期 ：2013-03—20 基金项 目：杭州师范大学创新种子基金项 目． 通信作者 ：马彪(1989一)，男 ，基础数学专业硕士研究生，主要从事代数研究．E—mail：1989mabiao@sina．corn 第 4期 马 彪 ：J一周期环及其扩张 355 引理 1 J一周期环的同态像是 ．，一周期环． 证明 设 7r：R—s为环R到环s的满同态 ，其中R为-厂一周期环．如果 zEJ(R)，那么对任意的r∈R 有 1mX?-EU(R)．于是对任意的SES，1一丌(z)SEU(S)，所以有 7r(J(R)) J(S)．对任意的SES存在r∈ R使得丌(r)一S．由R是 ．，一周期环知存在不同的正整数m，使得r一 ∈ (R)．因此，S一5一丌(r州一 ) ∈J(S)，即 S是一个 一周期环． 引理 2 环 R是 ，一周期环当且仅 当对R 中任意的