第2单元数学文化.pdfVIP

九江职业技术学院 数学文化素材库  文化素材编号  W2­1  所属模块 模块一：基础数学 所属单元 第 2 单元：极限及其应用 1. 极限的来源 极限可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极 限思想． 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想， 但由于希腊人 “对无限的恐惧” ， 他们避免明显地 “取极限” ，而是借助于间接证法─归谬法完成有关证明．到了  16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭 法，他借助几何直观，大胆地运用极限来思考问题，放弃了归缪法证明步骤， 在无意中 “指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向” ．极限思想的进 一步发展与微积分建立紧密联系．16 世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产 力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解 决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、 变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．起初牛顿和 莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他 们的晚期都不同程度地接受了极限思想．因为当时缺乏严格的极限定义，微积 分理论受到人们的怀疑与攻击．英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最 为激烈，他说微积分的推导是 “分明的诡辩” ．贝克莱之激烈攻击微积分，一方 面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿 自己也无法摆脱极限概念中的混乱．这个事实表明，弄清极限概念，建立严格 的微积分理论基础，不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义．  数学史 2.  极限的完善 数学名人  极限的完善与微积分的严格化密切联系．在很长一段时间里，微积分理论 基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿．这是因为数学的研究 对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变 量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还 不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应 变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种 “零”与 “非零” ，相互转化的 辩证关系．到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必 须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗 贝尔的定义是： “一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为 接近第一个量． ”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对 几何直观的依赖．事情也只能如此，因为 19 世纪以前的算术和几何概念大部分 都是建立在几何量的概念上面的．到了 19 世纪，法国数学家柯西在前人工作的 基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在 《分析教程》中指出： “当 一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多 小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值． ”特别地，当一个变量的数值 （绝对值）无限地减小使之收敛到极限  0，就说这个变量成为无穷小．柯西把 无穷小视为以 0 为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识， 这就