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* * 第四章 更换投影面 ４.1 换面法的概念 ４.2 四个基本问题 ４.2 四个基本问题 1. 一般位置直线 变成投影面平行线 a O 空 间：P1∥直线 投 影：O1X1轴∥直线的某投影 新投影：反映直线的实长及某倾角 a X b b V H X1 H P1 a1 b1 L ? 四个基本问题 一般位置直线→平行线 一般位置直线→垂直线 一般位置平面→垂直面 一般位置平面→平行面 O1 X2 P2 P1 a2≡b2 空 间：P1∥直线，且P1?H 投 影：O1X1轴∥直线的某投影 新投影：反映直线的实长及某 倾角实际大小 2．一般位置直线 变成投影面垂直线 对于投影面平行线： 空 间：P2?直线，且P2?P1 投 影：O2X2轴?直线的某投影 新投影：积聚为一点 O2 a O a X b b V H X1 H P1 a1 b1 L ? O1 3．一般位置平面 变成投影面垂直面 面的投影变换，应以 面上的某一条线为主。 当该线?某投影面时， 则此面在该投影面上的投 影积聚为一直线。 为简化作图，此线应 为面上一投影面平行线。 X O a c b a b c 1 1 V H X1 H P1 a1,11 b1 c1 空 间：P1?面，且 P1?H 投 影：O1X1轴 ?面上投影面平行线反映实长的投影 新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面) 且反映平面的某倾角实际大小 ? O1 4．一般位置平面 变成投影面平行面 X O a c b a b c 1 1 V H X1 H P1 a1,11 b1 c1 空 间：P1?面(且P1?H) 投 影：X1轴?面上投影面平行线 反映实长的投影 新投影：投影面平行线积聚为点， 面积聚为线(垂直面) X2 P1 P2 b2 a2 c2 △实形 空 间：P2∥面(即P2?P1) 投 影：O2X2轴∥积聚为线 的投影 新投影：反映图形的实际 形状、及夹角实 际大小(平行面) O1 O2 例：求已知直线与平面的 夹角?的实际大小。 m’ n’ n m 方法1步骤： 求MN与△ABC的交点K(求交) 过M作MD ? △ABC 求 MD与 △ABC的交点L(求交) 求?MKL(△MKL)的实形即 ? a c b’ a b c 1’ 1 2 2’ d’ d e’ e 方法2步骤： 过M作MD ? △ABC 求?NMD(△MND)的实形 ? 与 ?NMD互为余角 方法3步骤： 换面法? 如何换? 换几次? 例：求已知直线与平面的 夹角?的实际大小。 m’ n’ n m a c b’ a b c 1’ 1 b1 O1 O X1 H P1 a1 ,11 c1 m1 n1 X V H 方法1步骤： 求MN与△ABC的交点K(求交) 过M作MD ? △ABC 求 MD与 △ABC的交点L(求交) 求?MKL(△MKL)的实形即 ? 方法2步骤： 过M作MD ? △ABC 求?NMD(△MND)的实形 ? 与 ?NMD互为余角 方法3步骤： 换面法? 换几次? ? 如何换? 注意：新投影面 应垂直于平面、 且平行于直线！ 此时线面夹角 反映实际大小。 . 例：求两异面直线的距离。 a c b a b c d d O V H H X1 P1 a1 b1 c1 d1 P1 P2 X2 c2,d2 a2 b2 l2 k2 k1 l1 l2k2 为距离实长 l1 的位置？ KL为何种位置线？ 分析： 只需将其中的一条直线变换为投影面垂直线即可。 继续，返回到原投影！ X KL为P2的平行线！ k1 l1 // O2X2轴。 O1 O2 d d’ b c b’ a’ e’ e o o c’ o o’ a 例：试检查空间点A绕 O-O轴(正平线)旋转时 会不会与平面 BCDE相 碰撞（作图说明）。 V H X O X1 P1 V O1 o1≡o1 g’ g f’ f l1 k1 a1 f1 g1 此题2解 分析： 点A 的旋转轨迹 为垂直于o’o’ 的圆 该圆的正面投影 积聚为与o’o’垂直 的直线 该圆的水平投影 为椭圆，无法直 接画出 解题步骤： 作轨迹圆与已知平面的交线FG(过a’ 作o’ o’的垂线) 换面，将O-O轴积聚为一点 (其余见图自明，不赘述) 若点A与平面相碰， 其正面投影必在该 面上且与o’ o’ 垂直 的直线上 （即轨迹圆与