数项级数的收敛与发散判别法.pdfVIP

教学方法 数项级数的收敛与发散判别法 1 张应飞A 【摘要】无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。 无穷级数由数项级数、幂级数、傅立叶级数组成，对于数项级数，应重点掌握如何判断级数是收敛还是发散。 【关键词】级数 收敛发散 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函 比较原则判别法 +。 ， 数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。无穷级 例L三南 数由数项级数、幂级数、傅立叶级数组成，对于数项级数。 应重点掌握如何判断级数是收敛还是发散。本人在教学中总 解：％2了莉1 了丽可1丽=击，级数茎暑T=÷ 结出以下几种简单常用的判别方法。 级数的基本性质判别法 掉第一项得到的，由级数的性质知，级数茎杀f吉十}斗…+ 叭【*H别…【*卜 +∞1+∞ +∞1 +田 i{丁+…发散，由比较判别法知三了；；毒雨发散。 解：原式=∑—毒一∑．：F1，而∑专与∑击均收敛，所以级数 Ⅲ，lJ P¨1．， 【*H喜专卜·+(喜砖心敛。 例2·三-丽1 等比级数和p级数敛散性结论判别法 解：善可5专，而级数薹古收敛，由比较判别法知，茎 击收敛。 三凹“(口≠o)当俐1时收敛，当[ql-I时发散；三寺p0)， 比值判别法 当时矿1收敛当p≤1时发散。 27r +。／／COS 例1．下1，一下1，下1，…，土乒，… T 例1．∑—≠ ¨ 解：公比g=一1，贝tllql=l，所以该级数发散。 例2．三(一l广·／11 解：——互≥≤—争(cos等≤1)，考察茎号，解：字2 ．。。一 —n—+—一l 解：原式=茎【寻)”是一个等比级数g=一i1，Iql1，所以 该数列收敛。 =!靶*t， 可 例3·1+壶+方“一+嘉“一 由比值判别法可得，∑—鲁收敛，再由比较判别法可知∑ 解：该级数为P级数，P={1，因此，该级数收敛。 卜-●，严_ cos2婴 说明：利用该种方法时首先要明确所给的级数是否为等 —}收敛。 比级数或p级数。 说明：(1)比较判别法和比值判别法都是对正项级数而 级数收敛的必要条件判别法 言的；(2)比值判别法和比较判别法常结合起来共同使用。 如果Eu．收敛，则一般项趋于零，