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维普资讯 14 中 等 数 学 从无穷递降法到递推数列 武 炳 杰 (上海市复旦大学附属中学高二(8)班，200433) 题 1 证明：存在无穷多对正整数(口，b) Y= ，，z= 是一组基本解[引． (口≥b)，满足以下性质： 所谓的基本解就是满足原方程并且 ≤ (1)(口，b)=1； Y，当 c0时，0 ≤ √c；当 c0时，0≤ (2)b；5(mod口)； ≤ ． (3)口~5(modb)ai． 此命题的证明需要考虑的情况较多，完 题2 证明：存在无穷多对正整数 (口，b) 整的证明对本文意义不大，但接触了这个命 (口≥b)，满足 题之后，便明确了前面 2个问题及引申的证 口I(b2+1)，bI(口2+1) ． 明思路．下面详细地解一道类似的题，从而， 文[1]中题 1的解答是先给出 口l=4，口 更直观地说明论证的思路与方法． 题 3 试求所有互质的正整数对 (，Y)， = 11，口+2=3a+l一口( =1，2，～·)，再用数 使满足 学归纳法证明了所有的( ，+)满足题意． I(Y+210)，Yj( +210) ． 文 [2]中题 2的解答是先从简单的例子 (2005，中国国家队培训题) 入手引申出此题的本质斐波那契数列，进而 文 [4]中给 出的解答是 由 (，Y)在 用数学归纳法论证成立．充分地说明了 从“简 (1，1)，(1，211)时成立，并且还分 ≤14单独 单情形入手”一章的主题 ．但是，题 2的本质 讨论，说明答案是数列 { }的相邻两项，a 仅仅在于斐波那契数列吗?是否是一个巧合 =口2=1，a+2=212a 一 ．通过命题可以 呢?因为题2很容易将其中的+1改成 一5 理解递推式的来源及为何要分 ≤14单独 变成题 1，但这样用从简单情形入手的方式 讨论 ． 也就很难完成了．既然题 目中是无穷多组，那 证明：对正整数对(，Y)，若 么，是否可以找到所有的这些整数解呢?其 I(Y+210)，YI( +210)，(，)=1， 中又隐含着什么样的背景呢? 则等价于 文 [3]给出了如下的命题，恰好可以揭开 l( +Y。+210)((，Y)=1) 这类题的实质． 命题 对于方程 +Y+c= ，c不 。+，，2+210= ((，Y)=1，kEN+)． 是完全平方数，、Y、z为整数，