小扰动翼型相似律_111025_12707403.pdfVIP

2011 年秋季学期 空气动力学 小扰动翼型相似律 清华大学气动研究室 2011 年10 月25 日 目录 小扰动翼型相似律 3 1. 翼型相似律基本原理 3 1.1 原理 3 1.2 理想等熵流动方程回忆 3 1.3 小扰动势流回忆 4 1.4 仿射变换回忆 5 1.5 速度图法回忆 7 2. 戈太特法则 7 2.1 戈泰特法则 7 2.2 推导 8 3. 普朗特-葛劳沃特法则 10 3.1 原理 10 3.2 关系式推导 11 3.3 两可压缩流场 12 4. 卡门-钱学森法则 12 4.1 卡门-钱学森公式 12 4.2 卡门-钱近似及其性质 13 4.3 卡门-钱公式推导 17 4.4 密度与速度比关系 18 4.5 合理性分析 19 5. 相似律例题与习题 20 5.1 例题1：问题描述 20 5.2 例题1：求解 20 5.3 例题2 ：问题描述 21 5.4 例题2 ：求解 21 5.5 例题3：问题描述 22 5.6 例题3：求解 22 5.7 习题：问题描述 23 小扰动翼型相似律 1. 翼型相似律基本原理 1.1 原理 相似律基本原理是这样的：如果两流场之间如果坐标从而翼型几何参数满足一些比例关系, 那么 流场解就满足一些比例关系，比例系数只与来流马赫数有关。由于小马赫数对应不可压极限，因此可 以用相应的定常不可压缩流场的已知结果，直接推出定常亚音速流的可压缩流场的所需结果。由于不 可压缩流的理论发展比较完善，在水洞中做实验也比较方便，有很多现成的结果，因而如果有了这种 可压缩流与不可压缩流之间的对应准则，解决亚音速流动问题，就比较方便了。下面介绍的戈泰特法 则、普朗特-葛劳沃特法则和卡门钱学森法都是用于这种目的的方法。 1）对于戈泰特法则，将可压缩翼型与不可压缩翼型气动参数进行关联时，两个翼型形状相似，但在 垂直于来流方向上有压缩。 2）对于普朗特-葛劳沃特法则和卡门-钱学森法，两流场采用相同翼型，相同攻角。 以上也可以针对两个可压缩之间，由一个可压缩流场的已知结果退出其它马赫数条件下的结果，从而 大幅度减轻实验工作量。 下面先给一些相关理论。这些理论相对于空气动力学应用而言，有的太过基础或数学，因此可以 忽略其详细推导，点出其思路。对基础问题逻辑演绎有兴趣或天赋的，可以在相关内容里面仔细阅读。 1.2 理想等熵流动方程回忆 在理想等熵流动假设下，欧拉方程的动量方程和质量方程可以演化出理想等熵流动基本方程（见 基本方程的演化-》理想等熵流动基本方程）： 其中音速使用沿流线的能量方程 来确定。该方程的优点是，将欧拉方程中5 个标量方程隐含的规律反映在一个微分方程中，这来源于 等熵假设和定常假设。缺点是方程数目小于未知数（仍然有三个速度分量）个数。在无旋条件下，将 速度写成势函数的梯度 从而由理想等熵流动基本方程得势流基本方程 其中 1.3 小扰动势流回忆 针对如图所示的以小功角顺置于均匀来流中的扁平翼型，引入小扰动假设 其中翼面坐标由惯用关系式表达： 势流方程可以简化为(见小扰动势流基本方程-》小扰动展开+超音速流动和亚音速流动) 物面 边界条件可以写为（见见小扰动势流基本方程-》小扰动 边界条件） 或 小扰动压力系数满足（见小扰动势流基本方程-》小扰动压力方程） 1.4 仿射变