两个变量的函数.pdfVIP

S U R L E S F O N C T I O N S D E D E U X V A R I A B L E S ~PA~ H. POINCAt~E P A R I S . 1. On sait que M. WEIERSTRASS a ddmontr6 au sujet des fonctions dune seule variable le thdor@me suivant: Si F(z) est une fonction mgromorphe dans toute l6~endue du plan; cest h dire nayant ~ distance finie dautre singularit6 que des p6]es,,on peut la~ mettre sous la forme du quotient de deux fonctions enti6res. Le th6or~me analogue pour lesfonctions ~le deux variables nest pas encore ddmontr6. Je crois (~tre arriv6 h e n donner nile d6monstration rigoureuse, mais comme elle est un pen longue, je nen donnerai pas ici tou s l es d6tails; je me bornerai en exposer les traits principaux qui suffiront aux g6om6tres pour la reconstituer. Voici quel est le probl6me. Je consid6re une fonction de deux variables F ( X , Y ) et je suppose que dans le voisinage dun point quelconque X0, Y0, on puisse la mettre sous la forme ~,N N e t D dtant deux s6ries ordonn6es suivant les puis- sances de X - - X o e t Y--/To et convergentes lorsque les modules de ces quantitds sont suffisamment petits. Je suppose de plus que, lorsque les t • ~Q modules de X w X0 et Y w Y0 restent assez petits, les deux serm~ N e t D ne penvent sannuler h. la foi