组合数学凯诚+ + +版第三章卢的回答.docVIP

3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议? 解:设A为甲与第i个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A│=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28 甲参加的会议数为 28+5=33 3.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。 解： 设 A3：被3整除的数的集合 A5：被5整除的数的集合 A7：被7整除的数的集合 所以 | QUOTE | =| QUOTE |-| QUOTE | = QUOTE - QUOTE =33-4=29 3.3 n个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等 解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只 有n－1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等． ×3.4试给出下列等式的组合意义 证明： （1）从n个不同元素中取k，使得其中必含有m个特定元素的方案数为。设这m个元素为a1,a2,…,am, Ai为包含ai的组合（子集），i=1,…,m. （2）把l个无区别的球放到n个不同的盒子，但有m个空盒子的方案数为 令k=n-m，设Ai为第i个盒子有球，i=1，2，…k （3）设Ai为m+l个元素中去m+i个，含特定元素a的方案集；Ni为m+l个元素中取m+i个的方案数。则： 3.5 设有3个7位的二进制数 试证存在整数和，使得下列之一必然成立： 解：应用鸽巢原理，在每一个纵列中，含有三个元素，分别都只由两种选择0 或1，应用鸽巢原理所以必有中至少一个必然成立；成 立的时候取值的不同可以有这样几种情况：=6种，而每一横行共有七个元素， 再次用鸽巢原理，必有两列是相同的 即： 之一必然成立 3.6 在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，其距离小于。 证明：分别连接对边的中点，这样正方形被均匀的分成四个域，在正方形内任取5点，根据鸽巢原理，至少有两点在同一个域中，而一个域内两点的最远距离小于， 所以至少存在两点其距离小于。 3.7 在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点距离小于。 证明：将边长为1的等边三角行分成4等份，如图。 则至少有两个点在同一个小三角行中，每个小 三角形的边长为，所以至少存在两个点见的距 离小于。 3.8．任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。 解：易知任意整数的个位数的可能取值只可能为，共10种可能，而利用鸽巢原理，任取的11个整数中，其中至少有两个整数的个位数相同，这两个个位数相同的整数的差显然是10的倍数。即证。 ×3.9 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和，或是另一个数的两倍。 解：用反证法。设存在划分 ， Pi中没有数是两数之和， 即Pi中没有数是两数之差。设1到326中至少有个元素属于P1，并设为，不妨设，若A中存在一个元素是某两个元素之差，则满足要求。否则，令，令，显然B中的元素仍然是1到326之间的数，即。根据假定B中无一属于P1，否则与假定矛盾。所以B的元素属于P2 ，P3 ，P4 ，P5。与前面讨论类似，设B中至少存在属于P2的个元素。设为。令。根据假定，C中没有数是两数之差。令，，那么，对于所有。 易知存在整数使得。所以，D中的元素不属于P1，也不属于P2，只能属于P3 ，P4 ，P5。故根据鸽巢原理，设至少存在个元素属于P3。设为。令。根据假定，F中不存在元素是某两个元素之差，令。显然G中的元素不属于P3。且， 对于gi存在使得 。故G中的元素也不属于P1和P2。则G中的元素属于P4 ，P5。对于G中的5个元素，根据鸽巢原理，设至少存在个属于P4 。设为。令。令。显然，T中的元素不属于P1， P2， P3 ，P4 ，故T的元素属于P5。但根据假定，令，则且u不属于P5 。同样，u不属于P1， P2， P3 ，P4 ，即存在一个整数，不属于P1， P2， P3 ，P4 ，P5 。这与将1至326之间的整数任意分为5部分的假定相矛盾。 A,B,C三种材料用作产品1，2，3的原料，但要求1禁止用B和C作原料，2不能用B作原料，3不允许用A作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料）。