数学建模——现实生活中数学.docVIP

§5 煤矸石的堆积问题一.问题的提出煤矿采煤时,会产出无用废料――煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度约为的直线型上升轨道。用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后倾倒。待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。矸石山的底面积为：于是，征地面积至少为矸石山的体积（1）（2）（3）2. 征地面积与采煤出矸率的关系设出矸率为p，年均出矸量为，则从而按矸石容重换算成每年增加的矸石体积：于是t年后矸石上的体积为（4）由（3）和（4）式可得矸石山高度与时间的关系：将（5）代入（2）得t年后占地面积为（亩）（6）这样可得20 年后矸石山高度与占地面积分别为：（亩）特别，当p=0.1 时，（亩）3. 征地计划因为地价涨幅10% 高于贷款利率5% 。所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费想银行贷款。当p=0.1 时，征地费为（万元）（二）堆积矸石的电费1. 运矸车的机械效率设坡道行程为x, 则2. 运矸车的机械功堆积体积为V的矸石山，所做的总功为：其中，运矸车的机械效率为：其中，（9）（8）按照1度电=3600000 焦耳，并利用和（9）式，可以计算出从开始到t 年的电费当p=0.1,t=1 到t=20 年度电费52.28 50.69 49.08 47.44 45.77 44.07 42.33 40.55 38.73 36.86 电费20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 t（年份）34.93 32.92 30.83 28.64 26.32 23.82 21.09 18.00 14.25 8.5 电费10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t（年份）（四）结论为了进行经费比较，将所有费用都按利率5% 折合成20 年后的值。（也可以折合成现值）* 数学建模――现实B style=color:black;background-color:#ffff66生活/B中的数学胡学刚数学建模与数学建模竞赛§1. 关于数学模型与数学建模随着科学技术的进步，数学的应用已经不再局限于物理学传统领域，生态学、环境科学、医学、经济学、信息科学、管理科学、人文科学以及一些交叉学科都提出了大量涉及数学的实际问题。要解决这些问题，关键是要建立恰当的数学模型。数学模型（Mathematical Model ）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（Mathematical Modeling ）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。数学模型早就知我们从小就接触过数学模型：小学应用题应用题：“甲乙两地相距750 公里，船从甲到乙顺水航行需30 小时，从乙到甲逆水航行需50 小时，问航速，水速若干？”数学模型无所不在日常B style=color:black;background-color:#ffff66生活/B中，我们随处可见数学建模的问题。下面我们讨论B style=color:black;background-color:#ffff66生活/B中的几个数学建模实例一、模型假设1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形. 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续光滑曲面. 3. 相对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. §2 椅子能在不平的地面上放稳吗? 把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需挪动几次，就可使椅子四只脚着地，放稳了。试建立数学模型，并用该模型的结果解释这个现象。二、模型构成（1）用变量表示椅子的位置椅脚四点ABCD 呈正方形,以正方形ABCD 的中心O为原点,对角线AC 所在直线建立x轴(如图). 当椅子绕中心O旋转角度θ后，正方形ABCD 转至位置，这时对角线与x轴的夹角θ表示了椅子的位置. （2）用数学符号表示椅脚的着地情况当椅脚位置为时，设A，C两脚与地面的距离之和为B，D两脚与地面的距离之和为显然有特别当A，C两脚着地（或B，D两脚着地）由假设（2）可知都是连续函数由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，至少有一个为0. 当θ=0 时，不妨设这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结为证明如下的数学命题：三、模型求解令显然根据连续函数的零点存在定理知，存在四、模型解释和验证五、评注这个模型的巧妙之处在于用一元变量θ表示椅子位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离. 利用正方形的中心对称性及旋转900 并