让物体的包装设计更合理.pdfVIP

2014年第 12期 ·课外拓展 · 活数 让翰体的包鉴设计量含理 江苏省海 门中学 曹 锋 物流时代的今天，物体的包装问题是我们常常面临的 的材料达到最优化? 问题。小小的物体包装隐藏着数学中的很多知识，对物体的 例 2：有一个底面直径为 4em 的圆柱形容器，若要 内 包装进行探索 ，解决最优化问题 ，感受数学就在我们身边。 装直径为2cm的钢珠26只，那么容器至少要多少高? 一 、 外部包装与内部物体明确的情况下，计算能放入 分析：解决方法同例 1，圆柱的高h≥(13—1)、／ +1+ 的物体个数 1=l2、／ +2(cm)。 比较常见的一种情况是在外部包装与内部物体明确 三、内部物体部分确定，由外部包装来决定内部物体 的情况下，怎样才能尽可能多的放人物体 ，使包装达到最 的最大化 优化? 例 3：某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰 例 l：有一个底面直径为4era，高为 lOem的圆柱形容 品，用半径为 10em的圆形包装纸包装。要求如下：正三棱 器，若要内装直径为2era的钢珠，最多能装多少只? 锥的底面中心与包装纸的圆心重合 ，包装纸不能裁剪，沿 分析 ：底层里能同时放入 2个钢珠 ，往上一层又可以 底边向上翻折 ，其边缘恰好达到三棱锥的顶点。设正三棱 同时放入2个钢珠，这4个钢珠两两相切且与外部容器相 锥的底面边长为xcm，体积为 Vcm，。在所有能用这种包装 切，因此我们可以考虑这相邻两层的小球之间的高度差。 纸包装的正三棱锥装饰品中， 的最大值是多少? 2 图 2 图 1 分析：把包装纸向上翻折成 ，不如把正三棱锥拆开放 解：设相邻两层 四个球的球心分别为0．，0，0，，0，则 入平面中来考虑问题。 000。0组成棱长为4era的正四面体，且 002，0，0是平 行于圆柱底面的平行线 ，设E，F分别为 0。0，00 的中 解：正三棱锥的斜高为10一单 (。m) 点 ，则EF为其公垂线 ，在直角AEFO 中，可计算出EF= 、／／_2cm，假设能装入 个小钢珠 ，则 1+1+、／ (一1)≤ 正三棱锥的高为、／(10- )2一( )= 10jx≤4、／ +l，最多能装6层，也即最多装入 l2只。 、／1oo- 三 (cm)，所以体积=}× × ． ． r 引申：一个圆柱形容器的底面直径为( +2) ， j ＼／-0o一 一= 而 高为20R。则向其中放半径为R的小球最多—— 。 分析：底层放 3个小球，上一层放 1个小球，再上一层 因为 10一 ，所以0 lo~3-， 又放3个小球……，最多