无穷级数和的几种求法.pdfVIP

　　　　　　高等数学研究 　　　　　　　　　　　　　　　　　Vo l. 8,N o. 1 42 　　　STUD IES IN COLL EGE MA TH EMA T ICS　　　　　　　　　　　　J an. , 2005 无穷级数和的几种求法 王艳萍 　(郑州航空工业管理学院基础课部 　郑州 　450005) 摘 要 　从级数和的定义 、幂级数和函数的性质 、常见函数的幂级数展开, 以及 Fou rier级数理论等多种途径 可以来求级数和函数 。 关键词 　幂级数; 和函数; 幂级数展开; Fou rier级数 　　中图分类号 　O 1731 “高等数学 ”教材中用了很大的篇幅讲述无穷级数的概念及相关理论, 其中虽然几处涉及到了 无穷级数的求和, 但限于学时, 教学过程中很难系统地介绍级数求和的方法, 而这又恰恰是学生学 习中的一个难点 。本文将从几个方面举例说明求无穷级数和的几种途径 。 ∞ 一 、利用定义求和 :求出 lnu 的部分和 s , 然后求 lim s 。 ∑ n n n n →∞ n =2 ∞ 1 例 1　求 ln 1 - 2 的和 。 ∑ n = ? n 1 ( ) ( ) 解 　un = ln 1 - 2 = ln n + 1 - 2 lnn + ln n - 1 。 n ∞ 因此, un 的部分和为 ∑ n =2 ( ) ( ) 　　s = [ ln3 - 2 ln2 + ln 1] + [ ln4 + 2 ln3 + ln2 ] + … + [ ln n + 1 - 2 lnn + ln n - 1 ] = n 1 - ln2 + ln 1 + 。 n ∞ 因而, u 的和为 　　　　s = lim = s = - ln2。 ∑n n n = ∞ n = 1 1 1 1 例 2　证明级数 arctan + a rctan 2 + … + arctan 2 + …收敛, 并求其和 。