无限循环连根式.pdfVIP

无限循环连根式 我们把下列的式子，称为 “连根式” （其中a,b,c,d.. 都是正整数） a  b  c  d ... 。如果连根式中的数字出现无限多次循环，则称之 为无限循环连根式。 a : 拉马努金恒等式 提到连根式，最著名的就算是拉马努金恒等式 1 2 1 3 1 4 1 5 3 等式证明并不很难，主要用到 n2 1 (n 1)(n 1)，下面是简要证明 3 1 2*4 1 2 13*5 1 2 13 1 4*6 12 13 14 5*7... b : x a  a  a  a ... n 这个是在连根式中另外一个比较常见的 1 1 4a 易得,其单调有界，设lim xn m, 则有m m a，因此解得 m = n 2 1 5 特别的当a=1时候 1 1 1 1 ... = 2 c : yn 1 2  3  4 ... 1 2 3 4 1 1 1 1 1 3 y n 2 *  2  2  3 ...  2 *    ... 2 * 故其有界 2 2 2 2 2 2 2 2 2 单调性显而易见，所以其极限必定存在，现在来准确对其进行估值。 y n 1 2 3 4 5 6 7 = 1 2 3 4zn 其中z = 5  6  7  8 ...  5  6  6  6 ... 5 3 8 n 且z = 5  6  7  8 ...  z = 5 1 6 2 7 3 8 ... w n n n 其中w =3= 5+4= 5+1 6+10 = 5+1 6+2 7+18 = 5+1 6+2 7+3 8+4 9 ... (具体证明略去) n 故可以得到：1.75791= 1 2 3 4 8 y n 1 2 3 4 5 6 7  1 2 3 4 3 1.75838 所以我们得到y n 1 2 3 4 5 6 7 ...  1.758 d : 无穷循环根式相乘的情况 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 其中一个著名的例子是  *  *   *  2 2 2 2 2 2 2 2 2 上面式子证明如下：   sin  2    cos n  ,当= 时得到： = cos * cos * cos ... n1 2  2  4