第八课DFT的应用.ppt

第八节DFT的应用 引言 DFT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。 归 结 起 来, 有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换 的近似. FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的 一 种高速算法，虽实际 中广泛使用的是 FFT, 但 其应用的理论基础仍是 DFT. 通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一 般 FFT 应用的基本理论基础. 应用方面 一、采 用 DFT 办 法 求 解 线 性 卷 积。 二、采 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 (级 数) 一、采用DFT办法求解线性卷积（1）引入 ？：若做卷积的两序列都是有限长序列,能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢?即圆周卷积与线性卷积的关系是什么? （2）定理 设 有 限 长 序 列x1(n) 0≤n≤N1-1, x2(n) 0≤n≤N2-1 我 们 把x1(n)、 x2(n)补零点 至 N 点, N ≥max(N1, N2). （3）圆卷积代替线卷积的实现方法 设 x(n) 是 激 励, 是0≤n≤N1-1 的 有 限 长 序 列;h(n)是线性时不变系统的系统函数(冲激响应),是0≤n≤N2-1的有限长序列; y(n)是激励通过系统后的响应,即 y(n)=x(n)* h(n). 上图依据的是圆周卷积定理,做的是圆周卷积.然而由于L选取符合条件, 因而结果是与 线性卷积结果一致的. 二、用DFT逼近连续时间信号的付里叶变换（级数） 我 们 知 道 DFT 的 最 初 引 入 就 是 为 了 使 数 字 计 算 机 能 够 帮 助 分 析 连 续 时 间 信 号 的 频 谱 DFT 的 快 速 算 法 ------- 快 速 傅 里 叶 变 换 (FFT) 的 出 现 使 得DFT这种分析 方 法具有实用价值和重要性. 我 们 这 里 将 简 单 的 讨 论 逼 近 的 方 法 和 同 时 产 生 的 问 题. 讨论内容 1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。 2、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数。 3、用DFT逼近有限长信号的傅里叶变换。 4、用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的 问 题。 1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换 在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 是连续非周期性的频谱函数， 数 字 计 算 机难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近. （1）分析 设:对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔 为 T (时域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样,频域抽样间隔为 F(频域). 又因时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率值,即频域周期Fp = 1/ T=fs; 从频域抽样理论可知：频域抽样后对应时域按频域抽样间隔的倒数周期延拓, 即时域周期 Tp = 1/F. 对无限长的信号计算机是不能处理的,必须对时域与 频域做截断,若时域取N点,则频域至少也要取N点. (参见频域抽样不失真条件). 我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示: 连续时间非周期信号的付里叶变换对 连续时间非周期信号x(t)的付里叶变换为 （2)时域的抽样与截断 (3)频域的抽样与截断 （4）由对连续非周期信号进行频域抽样就推出DFT变换式 把 后 两 式 进 行 从 连 续 域 到 离 散 域 的 必 要 的 处 理, 如 令 T=1 等, 就 得 到 了 我 们 熟 悉 的 DFT 变 换 对 定 义 式. （5）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论1 从 以 上 分 析, 特 别 是 最 后 得 出 的 两 式, 不 难 看 出 ： 如 果 用 DFT 定 义 式 去 计 算 一 个非 周 期 的 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 则 频 谱 的 正 常 电 平 幅 度 与 用 DFT 算 得 的 频 谱 幅 度 相 差 一 个 加 权 ------ T. （6）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论2 同 理, 用 IDFT 定 义 式 去 计 算 一 个 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 反 变 换, 则 需 再 加 权 一 个 N * F0 = fs. 由 于 fs = 1 / T, 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过 程