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旋转的妙用 王云书（盐津县串丝中学） 摘 要：有些与图形有关的数学问题，用常规的方法很难解决，在条件适当的情况下，利用旋转来解决，就特别直观，简单。 关键词：整体转换 组成图形 旋转拼图 旋转作图 旋转变线 图形变换在中学数学中是非常重要的内容，其中旋转变换尤为重要。有些与图形有关的数学问题，用常规的方法很难解决，在条件适当的情况下，利用旋转来解决，就特别直观，简单。 一、利用图形整体位置旋转解决问题 例1：如图1，在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P，边BC上取点Q，边CD上取点M，边AD上取点N。如果AP+AN+CQ+CM=2。求证：PM⊥QN。 分析：直接证明PM⊥QN有困难，可设想将QN旋转900成一新的直线Q1N1，只需证明PM// Q1N1即可。即将正方形ABCD及QN绕点A顺时针旋转90°，可得QN⊥Q1N1.因为PN1=AP+AN1=AP+AN=2-(CM+CQ)= CC1-(CM+ C1Q1)=M Q1。所以四边形PM Q1N1是平行四边形，故PM// Q1N1,因此PM⊥QN，。 图1 二、利用旋转组成适当的图形解决问题 例2：如图2，已知P为正△ABC内一点，∠APB=1130，∠APC=1230。求证以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数。 分析：要判断线段AP，BP，CP是否构成一个三角形的三边，通常采用判定其中任两条线段之和大于另外一条线段的方法。然而，如何求所构成的三角形各内角的度数，又会使你感到束手无策，怎么办？如果以点C为中心，将△APC逆时针旋转600，点A变到B，线段CA变到CB，点P变到点P1，奇妙的事情就发生了。这时△PP1C就是等边三角形，即将AP转到BP,PC转化成PP1.这样AP，BP，CP就构成了三角形，各个内角的度数也就迎刃而解了。 图2 例3：在四边形ABCD中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC，证明BD2=AB2+BC2。 分析：要让BD2=AB2+BC2，想到用勾股定理。由于BD，AB，BC，不在一个三角形中，所以，应设法通过图形变换，使其集中到一个三角形中，且这个三角形是直角三角形，于是可连接AC，将△BCD绕点C顺时针旋转600到△ACE的位置，连接BE，这时三角形BCE是等边三角形，∠ABE=900。BD，AB，BC转化在了Rt△ABE中，即可求证。 图3 例4：如图4，△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的值范围。 分析：由于已知条件AB，AC与所求的AP比较分散，要想求AP的大小，马上想到三角形的三边的关系，又因为有△BCP是等边三角形，所以将△ACP绕点P逆时针旋转600到△A/BP，连接AA/，这时三角形AA/P是等边三角形，得 AP= AA/，即将AB，AC，AP转化在了三角形ABA/中,再利用三角形三边的关系即可求得AB-A/BAA/AB+AB/，即1＜AP＜5. 图4 例5：如图5，△ABC中，AB=AC,在△ABC内有一点P，使∠APB﹥∠APC，求证PC﹥PB。 分析：PC，PB都是一条较短的线段，要组成三角形利用两边之和大于第三边得证，显然不可能；又由于条件给出了两个角的大小关系，所以马上想到大角对大边，即将△APB绕点A旋转∠BAC至△AP/C，连接PP/，则AP/=AP，即∠APP/=∠A P/P，又因为∠APB﹥∠APC，所以∠P/PC﹤∠PP/C，即PC﹥P/C,所以PC﹥PB。 图5 例6：如图6，已知点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，如果PA2+PC2=2PB2，请说明点P总在对角线AC上。 分析：要说明点P在对角线AC上，即要说明∠APB+∠BPC=1800，又因为条件PA2+PC2=2PB2，马上想到将PA，PB，PC转化在跟直角三角形有关的三角形中，于是将△APB绕点B按顺时针方向旋转900到△BP/C，连接PP/，可得PP/2=2PB2,又因为PA2+PC2=2PB2，所以PC2+P/C2=P/P2,由勾股定理及逆定理可得∠PBP/=∠PCP/=900，于是得∠BPC+∠BP/C=1800,即∠APB+∠BPC=1800。 图6 三、利用旋转作图 例7：已知三条互相平行的直线a，b，c，试作等边三角形，使其三个顶点分别在a，b，c上。 分析：假设△ABC已经作出来，如图7，作AD⊥b，交b于D点。当我们将△ABC绕A逆时针旋转600时，Rt△ADB跟着旋转到△AD/C处，因此，可以确定点C，以AC为边的等边三角形的三个顶点就分别在直线a，b，c上。 作法：在直线a上取点A，作AD⊥b,D为垂足，再作AD/=AD,且∠DAD/=600，过D/作D/C⊥AD/,交直线c于