08 第八节 极限存在准则 两个重要极限.docVIP

第八节 极限存在准则 两个重要极限 分布图示 ★ 夹逼准则 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11 ★ ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ ★ 例19 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 例23 ★ 例24 ★ 例25 ★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 8 内容要点 一、准则I（夹逼准则）：如果数列及满足下列条件: （1）; （2） 那末数列的极限存在, 且 注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出与, 并且与的极限相同且容易求. 二、 准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限： 1. ； 2．. 四、连续复利 设初始本金为p (元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为 如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算 若要t年末的本利和为s, 则初始本金. 例题选讲 夹逼准则的应用 例1 (E01) 求 解 又 由夹逼定理得 例2 求 解 由易见对任意自然数有 故 而所以 例3 求 解 设 显然， 又由夹逼准则知 即 例4 求 解 其中因此而所以 例5 (E02) 求 解 由易见又 所以 例6 (E03) 求极限. 解 因为,故由准则,得 , 即 例7 求 解 令则 因此 , 由于所以故 例8 求证 解 (1) 当时, 故 (2) 当时,设显然当时,由例3知所以 (3) 当时，总存在一个正数使得由(2)知所以 综合上述证明可知 例9 求极限 解 当时, ，因此，当时, 由夹逼定理可得当时，有 由夹逼定理可得从而 例10 (E04) 设有数列求 证 显然是单调递增的.下面利用数学归纳法证明有界. 因为假定则 所以是有界的.从而存在. 由递推关系得故即 解得(舍去). 所以 例11 设 为常数, 数列由下列定义: 其中为大于零的常数, 求 解 先证明数列的极限的存在性. 由即 由知因此即有下界. 又故数列单调递减，由极限存在准则知存在. 不妨设对式子两边取极限得: 解之得即 例12 (E05) 求 . 解 例13 求 解 例14 (E06) 求 解 原式 例15 下列运算过程是否正确： . 解 这种运算是错误的.当时,本题所以不能应用上述方法进行计算.正确的作法如下： 令则当时, 于是 例16 计算 解 例17 计算 解 例18 (E07) 计算 解 例19 (E08) 求 . 解 例20 (E09) 求 解 例21 (E10) 求. 解 . 特别地，当时，有. 例22 (E11) 求 解 例23 求 解 例24 计算 解 例25 求极限 解 令则当时,又 故 连续复利 例26 (E12) 小孩出生之后，父母拿出P元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利，计算初始投资应该是多少？ 解 利用公式，求P. 现有方程 由此得到 于是，父母现在必须存储20189.65元，到孩子20岁生日时才能增长到100000元. 计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退. 一般地，年后金额的现值, 可以通过解下列关于的方程得到 ，. 课堂练习 1. 求极限 2. 求极限