分形与复杂性.pdfVIP

维普资讯 第 11卷 第 2期 系 统 辩 证 学 学 报 V01．11 No．2 2003年 4月 JOURNALOFSYSTEMICDIAL ECTICS Apr．2003 文章编号 1005—6408{2003)02—0007—07 分形与复杂性 苗 东升① 摘 要 在科学的和隐喻的意义上讨论了四个 问题 ：分形在整个复杂性研 究中的地位 ，分形 复杂在哪里?从分形看系统的时空复杂性，分形与 自组织和他组织的关系。 关键词 分形 ；复杂性 ；分形空间；分形时间；自组织 ；他组织 中图分类号 O415．5 文献标识码 A 欧几里得和牛顿模式的数学结构。”把分形几何与那 场数学危机联系起来是正确的，但把它看作 20世纪 1 复杂性研究的几何工具 现代数学中与泛函分析 、不动点理论等并列的另一 个新分支，并不恰当。那场数学革命的主 旨是力求 把一切数学分支都还原到康托集合论 ，直接结果是 从古代的欧几里得几何到现代的非欧几何 (罗 用集合论的概念定义其它数学概念 ，用集合论 的公 氏几何 、黎曼几何等)、射影几何 、微分几何 、拓扑学 、 理和定理证明其它数学命题 ，从而给现代数学确立 流形等，几何学研究的都是规整的形状 (空间点集 了严密的逻辑基础。危机的消除确立了现代数学的 合)，即由规整 的线、规整 的面、规整 的体构成 的形 宏伟大厦，但本质是欧几里得几何和牛顿连续动力 状；基本特点是连续性 、光滑性 (分段或分片、分块)， 学的直接延伸，分形几何不可能包括在这个大厦之 可以统称为整形。传统几何学就是整形几何学。一 内。 直到上世纪 70年代分形概念问世之前 ，几何学始终 曼德勃罗指出：“分形几何并非 20世纪数学的 是整形几何的一统天下 ，一切事物 的形状都力图用 直接 应‘用 ’。它是数 学危机 的一个 晚产 的新领 连续的、光滑或分段光滑的规则形状近似刻划。笛 域 ”。_1J他的这一说法更科学一些 。不过，问题不在 卡尔把形与数统一起来 ，建立了解析几何 ，再通过牛 于这个新领域没有随着危机的解决立即产生。从最 顿的微积分发展到现代分析数学，为描述连续光滑 近半个世纪复杂性研究所发展的新观点看 ，连续性 、 运动提供了解析工具。 光滑性代表数学对象 的简单性，非连续非光滑 的对 曼德勃罗认为，分形几何的源头可 以追溯到从 象才可能具备数学 的复杂性 。因此，由欧几里得和 1875年到 1925年之间发生的那场数学危机或数学 牛顿模式发展而来的20世纪现代数学 ，主干是在康