专题7解析几何错觉例析.docVIP

邯郸市第一中学2015届高三清北班专题7之请不要相信你的眼睛 命题人：段纪飞 1.(2014浙江)如图1-4，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 ，AC＝25 ，∠BCM＝30，则的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角) 解：由勾股定理得BC＝20 ．如图，过P点作PD⊥BC于D，连接AD, 则由点A观察点P的仰角＝∠PAD，＝设PD＝x，则DC＝，BD＝20－，在中，AD＝＝，所以＝＝＝，故θ的最大值为 2.(绍青周练) 已知圆：， 圆：，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值是 A．5 B．6 C．10 D．12 3.(名师伴你行)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么·的最小值为(　　) A．－3＋2 B．－3＋ C．－4＋2 D．－4＋ [答案]　A [解析]　本题主要考查向量的数量积定义，圆的切线长定理及重要不等式的应用，也考查了三角函数的诱导公式．如 图所示，设PA＝PB＝x(x0)，APO＝α， 则APB＝2α，PO＝， 所以cos α＝， ·＝||||cos 2α＝x2(2cos2α－1)＝＝＝(x2＋1)＋－3≥2－3.故(·)min＝－3＋2.此时x＝. 由于其中一条切线满足，对此结合(*)式可得 5.如图，椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，椭圆上定点P. (1)求椭圆C的方程及右准线l的方程； (2)过椭圆右焦点F的直线(不经过P点)与椭圆交于A，B两点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2. ()当APB的平分线为PF时，求直线AB的斜率k； ()若直线AB与右准线l交于点M，记PM的斜率为k3，则k1＋k2＝－时，求k3的值． [解析]　(1)把点P代入＋y2＝1，可得a2＝2，故椭圆方程为＋y2＝1，c＝1，右准线l＝＝2，即l：x＝2. (2)()由(1)知F(1,0)，由条件可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入椭圆：＋y2＝1，并整理得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得 x1＋x2＝，x1·x2＝，又P，则k1＝，k2＝， 因为A，F，B共线，所以kAF＝kBF＝k. 即：＝＝k. 所以k1＋k2＝＋＝＋－· ＝2k－·＝2k－， 即：k1＋k2＝2k－.(*) 当APB的平分线为PF时，PA，PB的斜率满足k1＋k2＝0，所以2k－＝0，k＝. ()由(*)式可知k1＋k2＝2k－，由k1＋k2＝－，可知2k－＝－，解得k＝，由直线AB：y＝k(x－1)，及椭圆的准线l：x＝2可知：M(2，k)． 又P.所以k3＝＝k－＝－，即k3＝－.椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值． 解　(1)由已知e＝＝，＝， 又c2＝a2－b2，所以a2＝4，b2＝1. 故椭圆C的方程为：＋y2＝1. (2)方法一　如图，由题意知 ＝即＝＝，整理得：m＝(|PF1|－2)． 又a－c|PF1|a＋c，即2－|PF1|2＋. ∴－m.故m的取值范围为m∈. 方法二　由题意知：＝，即＝. 设P(x0，y0)，其中x≠4，将向量坐标化得：m(4x－16)＝3x－12x0. 所以m＝x0，而x0∈(－2,2)，所以m∈. (3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． 联立整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0. 所以Δ＝64(ky0－k2x0)2－16(1＋4k2)(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0. 又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0. 故k＝－，又＋＝＋＝. 所以＋＝＝·＝－8. 所以＋为定值，这个定值为－8. 3