21436014徐勇开题报告.docxVIP

《量子比特与两模两光子相互作用系统在巴格曼表象下的严格解》论文开题报告徐文选题意义拉比模型是一个描述光与2能级原子偶极相互作用的简化模型[1]，在量子微腔的研究中具有重要意义。然而，因其长时间内无法严格求解，使得该模型的具体应用一直局限于特殊的Judd解[2][3]及各种近似模型[4][5][6][7][8][9][10][11][12][13]，从而限制了该模型的实际价值。直至2011年，D. Braak[14]首次在巴格曼空间[15]中运用微分方程技术求出了常规条件下能量本征值满足的约束方程，从而在数学形式上确定了单光子拉比模型的能谱结构。自此之后，拉比模型越来越发挥出它在量子光学领域中的重要应用价值。因此，寻找D. Braak的单光子解法在2模2光子体系下的合理推广，严格求解2模2光子拉比模型，可以优化原子与光腔、量子比特与谐振器、囚禁离子与量子阱等耦合体系的定态[16]、动力学[16]及退相干[17]问题的解析解。国内外研究现状然而，与D. Braak对单光子拉比模型的处理相比，2模2光子模型的主要困难在于中心方程的阶次更高，奇点指标更多，而奇点却只在处，致使无法由中心等式经赋值直接得到G函数零点方程，这已由I. Travenec[18][20]与Andrzej J. Maciejewski[19]等人证实。故Anselme F. Dossa[21]等作者试图将2模2光子模型的3次中心方程降阶为2次合流超几何方程，但未留意到这种变换只在特殊参数条件下成立。而Yao-Zhong Zhang[22][23]则先后通过Fock空间压缩变换及自旋空间对角化变换等操作对体系哈密顿量进行简化，得到了正确的波函数级数解，却误将单分量波函数的全纯性条件当作体系能谱的全部约束，以至忽视了Z2对称性才是求解能谱方程的关键。因此，上述所有2模2光子拉比模型的求解方案皆存在着难以克服的理论缺陷。目前，2模2光子拉比模型的能谱方程依然是由Q. H. Chen[24]与L. W. Duan[25][26]等作者运用体系态矢量在2种压缩态表象下展开式的等价性得到的，而这种等价关系只在非简并能级下成立，是故它不能得到能级简并的具体条件，不能统一处理Judd奇异解与一般解，不具备微分方程解法中的严格解析性。预期目标故而，基于目前2模2光子拉比模型的研究现状，本文旨在采用严格分析方法推导2模2光子拉比模型的能谱方程，预期在与的耦合范围内2模2光子拉比模型分别表现出离散能谱结构，在第一激发态以上随着耦合强度的提高，能量曲线出现交叉，在特殊点处存在能量简并；而体系基态始终保持无交叉状态，没有能量简并，这与JC模型不同。主要研究内容此文共分为五章，首章为绪论，末章为论文总结，二，三，四章为主干。其中，第二章是数学基础，共有五个小节：反射及宇称算符，Fulton-Gouterman变换[27]，su(1,1)李代数[28][29]及其多项式扩充[30][31]，2阶线性微分方程奇点结构[32]，2阶微分方程级数解收敛性[32]；第三章记述2模2光子拉比模型的中心方程与中心等式，各有一节，这是本文的主要结果之一；第四章则正式利用微分方程解法推导耦合下的能谱方程，解出2模2光子拉比模型的常规能谱结构，分为2节。研究方案寻找宇称算符的一种表示。对于2模2光子拉比模型而言，可证，同时为保证(2)中Fulton-Gouterman变换的成功运用，要求成立。利用Fulton-Gouterman变换对角化2维自旋空间，分离体系哈密顿量中的正负宇称部分，写出中心方程。对已在自旋空间对角化的2模2光子哈密顿量进行压缩变换，以对角化Fock空间。并由此得到中心方程的第二变形形式。根据压缩算符与反射算符的性质，得出2模2光子拉比模型的中心等式。建立su(1,1)李代数，并将已在自旋空间对角化且已在Fock空间压缩对角化的体系哈密顿量写为代数的线性形式。选取一种表示，推导该表示下的空间积分测度。并将中心方程的第二变形形式投影到该表示下，得到一个复数域微分方程。运用第二章的微分方程的奇点与收敛性理论求解该齐线性微分方程，得出满足平方可积性的本征波函数解。将正确的本征波函数解代入中心等式中，然后令等式对进行投影，即为2模2光子拉比模型在与时的能谱方程，它决定了2模2光子拉比模型在区域内的能谱结构。拟解决的关键问题与创新点上述第五章第(4)步与第(8)步最为关键，也是此次论文的主要创新点。以往作者没有发现过第(4)步，也没有采用过第(8)步。其次是第(7)步的波函数解的选取与论证更为严谨了，但所用连分数条件与平方收敛性的证明皆有先例。倒是第(1)步中对2模2光子中厄米反射算符的讨论颇有新意。参考文献I. Rabi, Phys. Rev. 51, 652 (1937).Ra