利用中心对称变换求中点弦方程.pdfVIP

维普资讯 26 高中数学教与学 20o0年 利用中心对称变换求中点弦方程 广东省南海市九江中学方良秋 直线与圆锥曲线的关系是解析几何中知识点覆盖较多， 解法较灵活的一类问题．其中求过已知点，并以该点为中点的 圆锥曲线的弦的方程是常见题，这类问题的解法一般是用待 一 定系数法，先设斜率为k，再运用韦达定理和中点公式求出k 值．请看下面的例子． 例1已知椭圆c： + ：1，直线z过 1U 叶 点P(3，3)且交C所得的弦AB恰被点P平分，求Z的方程． 解法1设Z的方程为Y一3：k(z一3)， ． 即 y= 一3k+3， ① 将其代人C的方程并化简得： (4k2+1)x～(24k—8k+2)x+(36k—24k一11)=0． 设a(x1，Y1)，3／(x2，Y2)，则 24k2—8k+2 z1十z2 —— ‘ 再由中点公式，得{=丝参{=3， 解得 k=一 ． 代入①，得Z的方程为z+2y一9=0． 这种解法思路不算复杂，但代入与化简过程却很繁，相当 维普资讯 第4期 高中数学教与学 27 一 部分学生求不出k值，因此对此类问题学生往往望而生畏． 其实，如果我们采用中心对称变换的方法，可使过程简单，计 算方便． 解法2 ．‘椭圆C的中心O1(1，2)关于点e(3，3)对称 的点为02(5，4)． ’ ． ． ． 椭圆C关于点P(3，3)对称的椭圆C为： (二 +(二 一1 16 ‘ 4 “ C与C的方程两边相减即得Z的方程为： 8x+16y=72。即X+2y一9=0． 这种方法简单、方便，一步到 y 位，其原理也很简单：如图1，设 AB是椭圆C以点P为中点的弦， C是椭圆C关于点P的对称椭 圆，则AB就是C与C的公共弦． 这种方法对所有圆锥曲线的中点 图1 弦都适用． 例2 已知点P(4，1)平分抛物线C：Y2=6x的弦AB， 求AB所在的直线方程． 解 抛物线关于点P对称的抛物线C是： (Y一2)=一6(X一8)． C与C的方程两边相减并化简即得AB所在直线方程： 3x—Y一11=0． 例3已知9(0：X+Y=1与双曲线C：(一1)一Y ： 1．直线Z同时满足下列两个条件： (1)z与双曲线相交于不同两点； 维普资讯 28 高中数学教与学 2000年 (2)z与圆相切且切点是直线z交双曲线所得弦的中点 ． 试求直线Z的方程． 解 设M(xo，0)为直线z与圆的切点则M也是Z与 ， 双曲线交点弦的中点．于是双曲线C关于点M对称的双曲线 C为： (z一2xo+1)一(Y一2y0)=1． c与C的方程两边相减并化简得z的方程为： (1一Xo)X+YoY+x6一Y8一z0：0．