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《周国标师生交流讲席 006》 各位同学： 这一讲本来计划讨论 Householder 反射与 Givens 转变换。但很多同学的提出了不少 关于线性变换的问题，使我改变了计划。《计算方法》课程的第 2 章的主题是研究解Ax  b 的直接方法，这类方法基于等价变换的思想，它们的源头是 Gauss 消去法，要彻底弄明白 Gauss 消去法，需要理解 Gauss 消去变换及其 Gauss 消去矩阵；而理解 Gauss 消去变换及其 Gauss 消去矩阵，较好的途径是弄清楚初等变换矩阵及其数学性质。当然，从会用计算方法 的应用角度，很多教材一般是通过讲解 Gauss 消去法的实现步骤以及初步的矩阵分析，来向 读者介绍 Gauss 消去法的。这当然是一种教学方法，这样的学习，交大的大多数研究生不会 有困难。但是我想，对研究生的学习而言，最好还是不要太实用，从源头上深究讨论是学习 数学的最好方法。因为研究生学数学最根本的任务是要提高理性分析能力，而非就事论事。 学习这门课也不仅仅学会象 Gauss 消去法等计算方法，而要学会计算方法的设计和对数值问 题和计算方法的数值分析，这才是高层次人才所需要掌握的。 所以这一讲集中介绍初等矩阵及其数学性质。希望我的这一思路能为大家所理解并能 接受。 周国标 初等矩阵及其数学性质 1．三种基本初等变换矩阵 我们在线性代数中已经学习过 3 种基本初等变换 其相应的基本初等矩阵，它们是： mn （1）数乘变换：用任意非零的数 去乘矩阵A C 的第 行 （列）； i （请注意，这与数乘矩阵是不同的，数乘矩阵得到的是一个新矩阵，其元素等于此 数与原矩阵对应元素的积） （2 ）倍加变换：将矩阵A Cmn 的第 行 （列）的 倍加到第 行 （列）； i  j （3 ）互换矩阵：互换A Cmn 的第 行 （列）与第 行 （列）。 i j 对应于这 3 种变换的 3 种正方矩阵，称为基本初等矩阵，它们 其逆分别为 1  1            数乘：  第 i行 ； 1  ； E   E  1/  1   1            