_相似对角阵_与_合同对角阵_求解过程辩析.pdfVIP

Vol . 10 ,No . 4 高等数学研究 J ul . , 2007 　　　　　　　 　 STUD IES IN COLL E GE MA T H EMA TICS 33 “相似对角阵”与“合同对角阵”求解过程辩析 (华东师范大学信息学院 　上海 　200062) 彭德艳 　金传榆 　 摘 要 　“线性变换的相似对角化”和“利用正交非退化线性替换实现二次型的标准化”两个知识点关联性很 强, 从概念 、操作手法和几何意义几方面对其进行比较和解析, 有利于在教学和学习中突出知识的联系 、从而很好 地消化和应用知识. 关键词 　相似对角阵; 合同矩阵 　　　　　　　　　　　　　　　　中图分类号 　O 151 . 2 在非数学类专业的线性代数教材中, “线性变换”和“二次型”是两个相对比较难的章节. “矩阵 相似对角化”、“线性变换的相似对角化”和“二次型的标准化”三个知识点在操作手法上有很强的 联系, 即都需要求描述矩阵的特征值和特征量, 当然, 它们之间也有差异. 但这种联系和异同往往不 为学生所看重和贯通, 反倒给学生留下极其抽象的感觉, 从而成为他们的一种学习负担. 本文力求 打通知识联系, 调理教学思路和学习途径. 1 　矩阵相似对角化 1. 1 　相似矩阵 - 1 ( ) 对方阵 A , 存在可逆方阵 P , 使得 P A P = B 时, 称 B 与A 相似 可以证 A 与B 也相似 . 如果 找到合适的可逆方阵 P , 使得 B = P- 1 A P 为对角阵, 即实现了方阵 A 相似对角化为方阵B . 学习相似矩阵有个重要的目的是研究如何寻求合适的可逆方阵 P , 从而求出方阵 A 的相似对 ( ) 角化 方 阵B . 1. 2 　求方阵 A 相似对角阵的过程 λ λ(λ ) ( 定义满足A X i = i X i 的数 i i 在与A 中元素相同数域中取值 和相应的非零向量 X i 一般取 ) 列向量 分别称为方阵 A 的特征值和特征向量. (λ ) 等价方程 i E - A X i = 0 是一个齐次方程组, 由齐次方程组有非零解的条件, 可得特征多项 λ λ( ) λ 式 | i E - A | = 0 , 解出所有特征值 i 对实方阵, 在实数范围内求解 . 分别将各 i 值回代入 (λ ) i E - A X i = 0 , 解出属于每一个特征值的解向量, 得一组极大无关“特征向量组”, 用来代表该 特征值对应的无穷多特征向量. 这些特征向量都可以由这组特征向量线性表出. λ 对 n 阶方阵A , 如果有 n 个无关的特征向量, 则 A 可以相似对角化. 因为, 如果有 A X i = i X i , i = 1 , 2 , …, n , 其中包括出现特征值相同的情况. 则以分块矩阵的形式表示即是 ( ) (λ λ λ ) Λ A X 1 , A X 2 , …, A X 3 = 1 X 1 , 2 X 2 , …, n X n . 　或者 　A T = T . (