《数学建模》第1讲.pptVIP

* 模型假设 极坐标系 (r,?) 太阳 (0,0) 1. 行星轨道 a~长半轴, b~短半轴, e~离心率 3. 行星运行周期 T 行星位置：向径 O (太阳) ? P (行星) r 2. 单位时间 扫过面积为常数 A m ~ 行星质量 k ~ 绝对常数 4. 行星运行受力 )) ( ), ( ( ) ( t t r t r q r ) 1 ( , , cos 1 2 2 2 2 e a b a b p e p r - = = + = q A r = 2 / 2 q 3 2 ka T = r m f r r = * 模型建立 O (太阳) ? P (行星) r 向径 的基向量 j i u j i u r r r r r r r q q q q q cos sin sin cos + - = + = r u r r r r = r r u u u u r r r r q q q q - = = q q q q q q u r r u r r r u r u r r r r r r r r r r ) 2 ( ) ( 2 + + - = + = A r = 2 / 2 q 3 2 4 , 2 r r A r A - = = q q 0 2 = + q q r r r u r r r r r ) ( 2 q - = q cos 1 e p r + = 3 2 ) ( 4 , sin 2 pr r p A r p Ae r - = = q r u pr A r r r 2 2 4 - = r m f r r = r u r r r r = r u pr m A f r r 2 2 4 - = * 模型建立 万有引力定律 需证明 4A2/p =kM （与哪一颗行星无关） A~单位时间 扫过面积 G：万有引力常数 k p / / 2 2 = p A O (太阳) ? P (行星) r r u r Mm G f r r 2 - = ) 1 ( , , cos 1 2 2 2 2 e a b a b p e p r - = = + = q ab TA p = r u pr m A f r r 2 2 4 - = 3 2 ka T = GM k = / 4 2 p * 1.5.4 类比 类比 在两类不同的事物之间进行对比 推出若干相同或相似点 推测在其他方面也可能存在相同或相似之处 类比的特点 从已知的事物的属性推测未知事物的属性 类比结果是猜测性的，不一定可靠 类比具有发现性的功能 是创造性思维的重要方法 * 问题：电话通话需求与通话服务的平衡 液体 气体 电话 交换中心 类比 热分子运动 系统无限制 系统有限制 0≤n ≤N m l m l / ! ) / ( - = e n P n n 1 2 ! ) / ( ! 2 ) / ( / 1 ! ) / ( - ú ? ù ê ? é + + + + = N n P N n n m l m l m l m l L * 1.5.5 模拟 模拟 以模型去模拟和仿照原型的结构特性、特殊的功能、原理 类比的特点 模拟以类比为逻辑基础 属于类比的一种特殊形式 * 问题：容器里物品的放置 问题： （1）如果放不下，请做出判断 （2）如果放得下，请给出具体方法 在一个已知容器内希望放下 N个已知不同形状的物体 * 1.5.6 移植 移植 将一个或几个学科领域中的理论、方法和手段移用到其他领域中 为解决其他学科领域的疑难问题提供启发与帮助 移植的特点 把要研究问题的关键与已有的规律、原理和既存的事实联系起来 通过联系以形成新的模型 * 问题：计算圆周率π的浦丰投针模型 a 2 0 π G g a a a a φ φ l 1. 平行线的间距为：a 2. 针的长度为：l (l a) 3. 针的中点到最近的一条平行线的距离为：x 4. 针与平行线的夹角： φ 5. 投针试验的总次数：N 6. 针与平行线相交的次数：Ni 针与平行线的位置关系 基本假定： * 针与平行线相交的条件： 设：矩形面积为：G 满足上式条件的区域面积为：g 针与平行线相交的概率p： a 2 0 π G g p的估计值： π的估计值： a l a d l G g p p p j j p 2 2 1 sin 2 1 0 = = = ò 的面积 的面积 N N p i = ? i N N a l p a l × = × = 2 1 2 ? p * 浦丰投针实验的历史资料 实验者 年份 l/a 投掷次数N 相交次数Ni π的实验值 Wolf 1850 4/5 5000 2532 3.1596 Smith 1855 3/5 32