3.4线性方程组解的结构1.pptVIP

一、齐次线性方程组解的性质 四、小结 * * §3.6 线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构 四、小结 思考题 二、基础解系及其求法 解的结构 一、齐次线性方程组的性质 第四节 线性方程组的解结构 设有齐次线性方程组 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的结构 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程 的 解，则 １．解向量的概念 　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． 一、? 齐次线性方程组解的结构 1 解的性质 性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解. 性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解. 性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解. （1） 齐次线性方程组(1)一组解向量 ， 若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 　　　　　线性表出. i） 线性无关； 则称 为(1)的一个基础解系． 2 基础解系 定义 3 基础解系的存在性 定理 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数 等于 ，其中n是未知量的个数， 推论 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系． 5 齐次线性方程组解的结构 若 为齐次线性方程组（1）的一个 基础解系，则（1）的全部解（或通解）为 附： 求基础解系的一般方法 对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换， 化A为行最简形． 不妨设 初等行变换 第一步： 写出方程组(1)的一般解： 第二步： 第三步： 为自由未知量. 代入自由未知量 ， 用 组数 得出方程组(1)的 解： 向量组　　　　　　即为方程组(1)的一个基础解系. 练习　求齐次线性方程组的基础解系． 例1　求齐次线性方程组的基础解系． 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵 令 　得 令 　得 原方程组的解为 原方程的基础解系为 二、非齐次线性方程组解的结构 设线性方程组 则齐次线性方程组 （3） （4） 称为（3）的导出组． 1 解的性质 性质1 非齐次线性方程组（3）的两个解　　　的差 　　 为其导出组（4）的解． 性质2 非齐次线性方程组（3）的一个解　与其导出 组（4）的一个解 的和 仍为（3）的解． 注　 非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解. 2 非齐次线性方程组解的结构 定理 如果　 是非齐次线性方程组（3）的一个 从而，方程组（3）的一般解为 为导出组（4）的一个基础解系． 那么方程组（3）的任一个解都可以表成 解，ξ是其导出组的全部解 推论 非齐次线性方程组（3）在有解的条件下， 解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解. 求出(3)的导出组(4)的一个基础解系 3 求一般线性方程组(3)的一般解的步骤 第二步： 第三步： 写出(3)的全部解(通解) 若有无穷多个解，先写出(3)的一个特解 对(3)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵, 第一步： 根据阶梯阵判断(3)是否有解． 例2　求解方程组 解： 对方程组的增广矩阵作初等行变换 由 令 即得原方程组的一个特解 得 由　 ，原方程组的导出组与下方程组同解 原方程组有解，并有 令 ，得 即为导出组的一个基础解系． 令 ，得 故原方程组的通解为 . 思考题 思考题解答 解