导数的综合应用一.pptVIP

* 基础知识 自主学习 §3.4 导数的综合应用 题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1, -6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f′(x)0及f′(x)0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论. 题型分类 深度剖析 思维启迪 解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6), 得m-n=-3. ① 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的图象关于y轴对称,所以 所以m=-3.代入①得n=0. 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)0得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 由f′(x)0,得0x2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: 由此可得: 当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无 极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 极小值 极大值 f(x) + 0 - 0 + f′(x) (2,+∞) 2 (0,2) 0 (-∞,0) x 当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无 极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得,当0a1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1a3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. (1)注意体会求函数极值的基本步骤,列 表可使解题过程更加清晰规范. (2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参 数a进行讨论. 探究提高 知能迁移1 已知函数 (a为常数),求函数f(x)的极值. 解 由已知得函数f(x)的定义域为{x|x1}, ①当a0时,由f′(x)=0,得 当x∈(1,x1)时,f′(x)0,f(x)单调递减; 当x∈(x1,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递增. 题型二　函数的最值与导数 【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实 数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值 －29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明 理由． (1)研究函数f(x)在[－1,2]上的单调性; (2)确定f(x)在[－1,2]上的最大、最小值； (3)列方程组求a、b. 解　由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax ＝3ax(x－4)． 当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2] 上取最大值3,最小值－29. 思维启迪 当a0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间 [－1,2]上, 当a0,令f′(x)＝0得x1＝0,x2＝4在区间[－1,2]上, －16a＋b  极小值b  －7a＋b f(x) ＋ ＋ 0 － － f′(x) 2 (0,2) 0 (－1,0) －1 x