第四节不可数集 - 实变函数论.ppt

　　1.没有发现区间(0,0]=? 　　二进制中有限小数都可以用无限小数表出!只考虑无限小数有原象即可. ７基数的运算 * * 四川省省级精品课程《实变函数论 》 主讲人：魏勇 §1.3 无最大势定理与Contor连续统假设 第一章 集合论基础与点集初步 1. 无最大势定理 (本定理说明“无限”分很多层次，不存在势最大的集合) 还须证明　　　　　　 　　尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论. 因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切事物所组成的集合. Cantor 最大基数悖论 作业存在的主要问题(临时页): 2.证上下极限时表述不清楚 (偶横奇竖） (用第二种表述直观简洁) 作业存在的主要问题(临时页): 无论是(x,y) ∈｛(x,0)｜0≤x＜＋∞｝ 还是 (x,y) ∈ ｛(0,y)｜0≤y＜＋∞｝ 2. (x,y) ∈｛(x,0)｜0≤x＜＋∞｝∪｛(0,y)｜0≤y＜＋∞｝ (既不是…，又不是…,) 证明步骤: 2.可数势与连续势的关系（习题19） 其中　　　　　　　　 证明：只须证N的无限子集全体与（０，１）中二进制全体一一对应．(有限子集全体至多可数,可忽略!) 为2N～ (0,1)2的1-1对应 　　Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。 注记： 从前面我们已经看到： Cantor认为在 　 　之间不存在别的基数， 即不存在这样的集合A,使得 但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。 3.连续统假设 在Zermelo-Frankel公理集合论体系下 ZF公理集合论体系下的连续统假设 1940年Godel证明了连续统假设的相容性 （即不能证明它不真）； 1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性 （即不能用其他公理证明它真）； 例2 请不用连续统假设证明: 则 若 或 证明：不妨假设 从而 即 故 则 若 ， * *