单位冲激函数Δ(T)的广义定义及其特性分析.pdfVIP

维普资讯 青海师专学报 (教育科学) JoURNALoFQINGHAIJUNIORTEACHERs’CoLLEGE (EducationScience) 20o4年 第 5 No5．20o4 ● 单位冲激函数 8(t)的广义定义及其特性分析 一n K —l 缪希学 ，赵廷靖 ● 一n (1．2．陇东学院 数学系，甘肃 庆 阳745000) 摘 要 ：普通函数对单位冲激函数的定义是不严格 的，本文用广义函数对其进行科学的定义，并在此基础上分析单位冲 激函数的特性，单位冲激函数在信号分析和系统分析中有着极为重要的地位． 关键词 ：冲激函数 ；取样 ；检验函数；检验函数空间；急降函数 ；缓增广义函数空间 中图分类号：0174 文献标识码 ：A 文章编号：1007—0117(2004)05～0OlO一03 在信息分析和系统分析中，单位冲激函数 6(t) 函数值为无限大．因为单位冲激 函数已经不属于普 是一个使用频率极高的奇异函数．对这类奇异函数 通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义 不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通 函数进行严格的定义． 函数．而这类 函数有着奇特的性质 ，这些特殊的性质 2 单位冲激函数的广义定义 决定 了它有极为广泛 的用途．探讨它的定义及特性 选择一类性能 良好的函数 ，称为检验 函数 (它 有利于我们分析问题和解决问题． 相当于定义域)，一个广义函数 g(t)是对检验 函数 1 单位冲激 函数的普通数学定义 空间中每个函数赋于一个数值 N的映射 ，该数与广 定义有多种方式 ，其 中 义函数 g(t)和检验函数 (t)有关 ，记作 定义 1 设有一函数 P (t) N[g(t)，(t)]， 通常广义函数 g(t)可写为 』：g(t) (t)dt：N[g(t)， (t)】 (3) P (t)： 式中检验 函数 (t)是连续 的，具有任意阶导 数 ，且 (t)用其各阶导数在无限远处急剧下降(即 1 ltl一 ∞时，比 下降得更快)的普通 函数 (如 ltl 当n一∞时，函数 P (t)的宽度趋近于零，而幅 e “等‘)，这类函数的全体构成的检验函数空间称 度趋近于无限大 ，但其强度仍然等于 1．这个函数就