2.1 引言~2.2 Lagrange 插值.pptVIP

根据Rolle定理, 再由Rolle定理, 依此类推 由于 所以 因此 即 结论 例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 插值基函数的性质 Lagrange插值算法特点局限性 优点：公式简洁, 理论分析方便 ? 直观； ? 对称； ?容易编程上机等。 缺点：基函数计算复杂，计算量大 ?每增加一个节点，插值多项式的所有 系数都得重算； ?计算量为 。 下一节提出的Newton插值法就克服了上述缺点。 例 已知 =100, =121, 用线性插值估计 在x=115时的截断误差 解: 由插值余项公式知 因为 例 已知x0=100, x1=121, x2=115,当用抛物插值求 在x=115时的近似值，估计其的截断误差 解 = ∵ 在数学分析中我们用y=f(x)描述一条平面曲线，但在实际问题中，函数y=f(x)往往是通过实验观测得到的一组数据来给出的，即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，或者给出一个函数表，如何通过这些对应关系去找函数f(x)的近似表达式呢？就可以利用插值。 简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x) * * * * * * * * 第 2 章:插值法 求近似函数的方法 插值法 曲线拟合法 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 泰勒(Taylor)定理 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表 y=f(x) y=P(x) x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn 2.1 引言 1.插值问题 设函数 在[a,b]上有定义，已知函数在 [a,b]上n+1个互异点 上的函数值 若存在一个简单函数 ，使得满足 则称函数 为 的插值函数，点 为 插值节点，包含插值节点的区间[a,b]为插值区间； 求插值函数 的方法为插值法。 若插值函数 为 次数不超过n 的多项式 ，即 则称 为n次插值多项式，相应的插值法称为多 项式插值。 2. 插值多项式的存在唯一性 定理1 设节点 互异，则在次数不超过n的 多项式集合中，满足插值条件 的插值多项式 存在且唯一。 证明 这是关于 的n+1元线性方程组，其系数行列式 将 代入插值条件得 由于 互异，得 于是该方程组存在唯一的一组解 ， 从而插值多项式 存在唯一。 2.2 拉格朗日插值 约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis?Lagrange?）。 法国数学家、物理学家，是18世纪仅次于欧拉的最大开拓者，拿破仑曾称赞他是“一座高耸在数学界的金字塔”，在数学、力学和天文学三个学科领域中都有贡献，其中尤以数学成就最为突出，是分析力学的创立者。 2.2 拉格朗日插值 1、 线性插值与抛物插值 （1）线性插值 假设给定了函数f(x)在两个互异的点x0 ，x1 的值, 求用线性函数 近似地代替f(x)。选择参数a和b, 使 （2）抛物插值 已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，构造 使满足二次插值条件： 线性插值的几何意义:用 通过点 和 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为 为了便于推广，记 这是一次函 数,且有性质 基函数为 与 称为线性插值基函数。且有 例：已知 , ,求 解: 这