广义保险模型的破产概率问题研究.pdfVIP

应 用 数 学 M ATH EM ATICA APPLICATA 2003．16(1)：98～ 102 广义保险模型的破产概率 问题研究 尹居 良 (1．暨南大学 ，广州 510632；2．中山大学 广州 510275) 摘要 ：本文对于广义保 险模 型 ，利用鞅 的表示性 ，随机 Thiele微分方程 ，计数过程 以 及随机积分的有 关理论 ，研 究 了保 险的破产概 率 问题 ，得到 了破 产概率上界 的理论形 式 以及 Lunberg指数 ． 关键词 ：鞅 ；计数过程 ；强度过程 ；破产概率上界 ，Lundberg指数 中图分类号 ：O02，F84 AMS(2001)主题分类 ：60P05，60F10 文献标识码 ：A 文章编号 ：1001-9847(2003)01—0098—05 破产概率 问题是保险公司业务经营和风险管理面对的重要问题 ，不仅如此 ，该 问题一直也 是聚合风险理论研究的重点．作为保 险精算数学的一部分 ，聚合风险理论着重处理风 险的随机 过程模型 ，模型 中赔偿事件的发生被刻画成点过程 ，每次赔付额为一个 随机变量．通过对赢余 过程 的研究可以解决破产概率问题．聚合风险理论 中最简单的随机过程模型叫做古典模型 ，该 模型 的风险分析在上世纪初五十年代 已经完善．尽管如此 ，由于古典模型 的局 限性 ，在实际的 风险问题研究中，需要对该模型进一步扩展．一般来说 ，古典模型 的扩展可 以从 以下几方面进 行 ：第一保 险费依赖于保 险业务本身(非常数支付率)；第二利率因素和通货膨胀因素加入到模 型中；第三赔偿事件的发生被刻画成更一般 的点过程而不是泊松过程。在 JanGrandeiI的专著 [1]中，作者总结了古典模型风险分析的经典结果，同时对于扩展古典模型，特别是对赔偿事件 为一般 的点过程情形系统研究了破产概率的估计 ，计算 以及 Lundberg指数的扩散型估计等． 最近几年，有关破产概论的估计或计算的研究成果大量 出现，特别是更新过程 ，马 氏过程 ，鞅方 法 ，随机分析 的普遍应用 ，使得该问题 的研究更加深入 ，风险模型也更加切合实际，因此对保 险 经营的指导意义得到加强．本文对于广义保险模型 ，利用赔偿流的随机测度表示 ，结合鞅 的表 示性以及计数过程 ，马 氏过程 以及 随机分析 的有关理论 ，研究 了保险 的破产概率 问题 ，得到 了 破产概论上界 的理论形式 以及 Lundberg指数的有关结果 ． 考虑一个 由Hoem-[4]在 1969年提出的著名的多状态保险精算模型的扩展模型 ：设保单 的可能状态为 厂一 {l，2，…，J)，在任何时刻 t保单 只处于一个状态 ，在 时刻 0状态为 0．假设 随机过程 (x()) 表示保单 的状态过程 ，并假设其轨道右连续 ，在任一有限期 间内只有有 限 收稿 日期 ：2002—04—27 基金项 目：全 国统计科研计划项 目(LX01—113) 作者简介 ：尹居 良(1970一)．男 ．华东师范大学统计系 ．硕士 ．中山大学数学系在读博 士 ．主要研究方 向 保 险精算 ，金融市场 的随机分析． 第 1期 尹居 良：广义保险模型的破产概率 问题研究 99 次跳跃．对任意一个状态 J∈r，J(￡)一 1Ix( ，表示事件 ”在时刻 t处于状态 J”的示性过程． 定义计数过程 (￡)一 #{r∈ (0，￡])：X(r--)一J，X(r)一是为直到 t时刻为止，状态转移 一 k(j≠七)的次数 ，并且 N (0)一0，(≠南)．保险有关利益可分为两部分 ：第一广义年金 ． 在时期 (，￡]，只要保单逗 留在状态 J，则给予额度为 A (￡)一A?()的年金 ；第二广义保险．只 要在 时亥4t发生状态转移 — k，则在 t时或在 t之后的短时间内支付额度为no(￡)的趸付赔 偿额．A (￡)和 “盖(￡)(≠是)称为合同函数．在以后的讨论中，假定 {“(￡)；t≥ 0)(≠是)为 取值非负 ，左连续，有限值的随机过程 ；{A；(￡)；t≥0}为右连续的有限变差过程．按照文[3]中 的有关约定 ，{A (￡)；t≥ 0)若为年金支 出时 ，取值非 负 ，