2016职高对口升学数学（人教版-基础模块）二轮复习教案：三角函数的诱导公式02.docVIP

第2课时 导入新课 上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.推进新课 新知探究 提出问题 终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系? 活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系. 教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导. 图3 讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有 sinα=y,cosα=x, cos(-α)=y,sin(-α)=x. 从而得到公式五: cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα. 提出问题 能否用已有公式得出+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式? 活动:教师点拨学生将+α转化为π-(-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为+α可以转化为π-(-α),所以求+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六. 讨论结果:公式六 Sin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinα. 提出问题 你能概括一下公式五、六吗? 活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括. 讨论结果:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限. 利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一—六都叫做诱导公式. 提出问题 学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是±α,-α.其中,是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限. 教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.示例应用 思路1 证明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα. 活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题. 证明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα; (2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα. 点评:由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用. 化简 活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的. 解:原式= ===-tanα.思路2 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x; (2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx? 活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 证明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x. (2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=故所求的整数n=4k+1(k∈Z). 点评:正确合理地