《弹性力学》第十章变分法28.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (a) (b) 同时，在位移给定的边界上（面力不可能给定），应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分 。根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足 29 由于应力分量的变分，形变势能必有相应的变分。把形变势能看做应力分量的函数，则形变势能的变分应为 将下式代入 30 再将几何方程代入，得 根据分步积分和奥－高公式，对上式右边的各项进行处理，例如 最后可得 31 再将式（a）和（b）代入，即得 这就是所谓应力变分方程(卡斯提安诺变分方程)。方程的右边代表面力的变分在实际位移上所做的功。由此可见，由于应力发生的变分，形变势能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功。 32 如果在某一部分边界上，面力是给定的，则该部分边界上的面力不能有变分，于是 ，而应力变分方程右边的相应积分项成为零；如果在某一部分边界上，给定的位移等于零，则应力变分方程右边的相应积分项也成为零。因此，应力变分方程右边的积分，只须在这样的边界上进行：面力没有给定，而给定的位移又不等于零。 二 极小余能原理 将应力变分方程改写为 由于在需要积分的边界上，位移是给定的，在变分过程中保持不变，所以上式可以改写为 33 中括号内的表达式称为弹性体的余能。因此，在满足平衡方程和应力边界条件的各组应力中间，实际存在的一组应力应使弹性体的余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明这个极值是极小值，所以上述结论称为极小余能原理。 以前看到，实际存在的应力，除了满足平衡微分方程以外，还应当满足相容方程。现在又看到，实际存在的应力，除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，还满足应力变分方程。而且，通过运算，还可以从应力变分方程导出相容条件。于是可见，应力变分方程可以代替相容条件。 34 三 应力变分法 设定应力分量的表达式，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程决定这些系数。应力分量一般可设为 其中Am为互不依赖的m个系数。(σij)0是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，σij是满足“无体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数Am如何取值，σij总能满足平衡微分方程和应力边界条件。 注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。 (c) 35 如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程简化为 显然，形变势能U是Am的二次函数，因而(d)式将是Am的一次方程。这样的方程共有 m 个，恰好可以用来求解系数Am，回代(c)式，求得应力分量。 即 (d) 如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程，即 36 在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界。将面力的变分与应力的变分两者之间的关系，即 代入方程的右边积分后，将得出如下的结果： 其中Bm是常数。另一方面，方程的左边 37 因而得 上式仍然是Am的一次方程，总共有m个，且各个Am是互不相关的，因而可以求出所有的Am ，回代(c)式，求得应力分量。 在应用应力变分法时，要使设定的应力分量既满足应力边界条件，又满足平衡微分方程，这往往是很困难的。但是，在某些类型的问题中存在着应力函数，而且用应力函数表示的应力分量又能满足平衡微分方程。这时，我们就只须设定应力函数的表达式，使它给出的应力分量能满足应力边界条件，困难就大大减少了。 38 其中Am为互不依赖的m个系数。φ0给出的应力满足实际的应力边界条件，φm 给出的应力满足无面力时的应力边界条件。 由于应力分量的数量较多，确定起来有困难，通常用应力函数方法。 在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设定为 四 应力函数方法 在平面应力状态，用应力分量表示的形变势能为 39 如果考虑单连体，且是应力边界问题，应力分量应与 ?无关，可设其为零。则两类平面问题皆简化为 用应力函数表示为 对于平面应变问题 40 在应力边界问题中，因为面力不能有变分，所以变分方程简化为δU=0,因此系数应满足 上式为线性方程组，求解Am后，得到应力函数的近似解，最后得到各应力分量。 将应力函数的表达式代入，得 41 由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不