电子科大图论课件——第8章简介.pptVIP

* 第八章 拉姆齐问题简介 电子科技大学数学科学学院 张先迪 * 1、概念 定义1 设G=(V ,E)是一个图。V的一个顶点子集V1称为G的一个点独立集,如果V1中的顶点互不邻接； 一、独立集与覆盖 G的一个包含顶点数最多的独立集称为G的最大独立集。最大独立集包含的顶点数，称为G的点独立数，记为α(G)。 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个独立集 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个最大独立集 * 定义2 设G=(V ,E)是一个图。V的一个顶点子集K称为G的一个点覆盖, 如果E中的每条边至少有一个端点在K中。 G的一个包含顶点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖。最小点覆盖包含的顶点数，称为G的点覆盖数，记为β(G)。 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个点覆盖 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个最小点覆盖 * 定理1 (加莱) 对任意不含孤立点的n阶图G，有： 2、加莱恒等式 α(G)+ β(G)= n 二、拉姆齐数R(m, n) 1. Ramsey 问题 问题：在任意 6 个人中，一定存在三个人彼此相识，或者彼此不相识。 * 拉姆齐( 1903---1930) 英国数学家。1920年毕业于英国曼切斯特学院，随后获得奖学金入剑桥三一学院研究数学，1924年当选为该学院fellow。 1925年，拉姆齐发表第一篇重要学术论文“数学的基础”。拉姆齐问题是他的第二篇文章中提出的。 除数学外，拉姆齐在经济学和哲学方面兴趣很高，但主要是在哲学方面。 拉姆齐工作效率很高，每天只工作4小时，其余时间全用在娱乐上。 26岁时，拉姆齐意外去世。 * 对 Ramsey 问题，即 “任意六个人中必存在三个人相互认识或三个人相互不认识” 可如下建立一个图论模型：以完全图 K6 的顶点代表人，对K6 的任意一条边e，若e的端点代表的两人认识，则给边 e 着红色（或连实线），否则给边 e 着蓝色（或连虚线） 。于是我们得到一个每条边都着有红色或蓝色的完全图K6。这样，Ramsey 问题便转化为对 K6 的边用红和蓝两种颜色任意着色，使得着色后在其子图中，或存在一个 红色 K3（即所有边均着红色的K3，以下同），或存在一个蓝色K3。 * Ramsey 问题的图论模型还等价于: 1.(定理7) 在任意的6阶图G中，或存在三个点的团 (其导出子图为K3) , 或存在三个点的独立集。 2. 任意一个6阶图中或存在三个点的团, 或其补图中存在三个点的团。 例如下图中有 红色 K3 也有蓝色K3 * 定理8 对任意的9阶图G，必存在含3个点的团或存在含4个点的独立集。 证明 因图中奇点个数为偶，所以G中不可能所有点的度均为3。从而G中存在点v，满足d(v)≠3。以下我们证明G中若不存在含3个点的团，则必存在含4个点的独立集。 情况1 d(v) 3。此时与v不相邻的点至少有6个。设S为G中与v不相邻的点构成的集合，由定理7，G[ S ] 中存在含3个点的独立集U（因假设不存在含3个点的团），这样U∪{v}是G的含4个点的独立集。 情况2 d(v) 3。此时与v相邻的点至少有4个，设为u1, u2, u3, u4。因假设G中不存在含3个点的团，所以u1, u2, u3, u4互不相邻，即{u1, u2, u3, u4}是G的独立集。 * 例 定理2.3.1意味着 R(3,3)≤6  定义1 给定正整数a和 b，令R(a, b)是保证任意的 n阶图中必存在含a个点的团或存在含b个点的独立集的最小n值，则称R(a, b)为Ramsey数。 所以 R(3,3) = 6 2. Ramsey数 右图表明 R(3,3)≥6 * 类似地，定理8表明 R(3, 4)≤9 右面的8阶图中既无三个点的团，又无四个点的独立集, 所以 R(3,4)≥9 于是 R(3, 4) = 9 * 3. Ramsey数的性质 易知, R(1,a) = R(a,1) =1 R(a,b) = R(b,a) R(a,2) = a 定理8 当a,b≥2时，R(a,b)是一个有限数，并且有  R(a,b)≤R(a-1,b)+R(a,b-1) (1) 首先