最小二乘估计在曲线拟合中应用的研究.pdfVIP

2011 ·9 最小二乘估计在曲线拟合中应用的研究 张 勤 （仙桃市第八中学，湖北仙桃） 【摘 要】本文首先介绍了最小二乘估计的理论基础，然后研究了最小二乘估计法在多项式曲线拟合中的应用，并解释说明了 最小二乘曲线拟合的性能和拟合多项式阶数的关系，同时证明了最小二乘拟合是一种简单而又有效的拟合方法。 【关键词】最小二乘估计；曲线拟合；误差平方和 一、最小二乘估计简介 所得观测数据有关，通常要从问题的运动规律及给定数据描图 在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据中 来确定拟合函数的形式，并通过实际计算选出较好的结果。通 寻找自变量与因变量之间的函数关系。由于观测数据往往不 常我们对比较简单的数据处理都是采用多项式拟合的函数形 准确，因此不要求函数经过所有的数据点，而只要求函数在给 式进行曲线拟合。在MATLAB 中，多项式曲线拟合采用的准 定点上误差按某种标准最小。不同的标准产生了不同的估计 则就是最小二乘估计法，其常用的拟合函数就是polyfit 函数， 方法，如最小二乘估计、最小均方误差、最小均方等方法。 其一般形式为p=polyfit （x ，y ，n），其中x 和y 为已知的测量数 最小二乘估计是一种古老的估计方法，这种方法的应用可 据点，n 为拟合多项式的阶数，当n 为1 时，进行最佳直线拟合 以追溯到1795 年，当年高斯使用这种估计方法研究了行星运 （线性回归），当n 为2 时，需要选择最佳的多项式拟合，依次类 动规律。最小二乘估计不需要任何先验知识，只需要有关被估 推，另外返回值p 表示拟合函数的最佳系数。此外还常常用到 计量的观测信号模型，就可以实现信号参量的估计且易于实 函数polyval，其一般形式为y=polyval （p ，x），它用于在求出拟 现，并能使误差平方和达到最小，所以最小二乘估计量的性质 合函数的系数后，在给点横坐标的情况下求取拟合函数的函数 虽然不如最小均方误差方法和最小均方方法，且如果没有关于 值，其中p 表示前面拟合函数polyfit 求出的拟合多项式的各项 观测量特性的某些统计假设，其性能也无法评价，但是其依然 系数，x 表示拟合函数给定的横坐标值，y 为在相应横坐标点上 是应用很广泛的一种估计方法。最小二乘估计法（又称最小平 求得的函数值。下面我们将通过一个实际的拟合例子来观察 方估计法）也是一种数学优化技术。其基本思想是通过最小化 最小二乘估计法的拟合效果。 [ ] 误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘估计 假设原始观测数据的横坐标x 分别为0 ，0.1，0.2…1 ，相对 [ 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际 应的这 11 个观测点的纵坐标y 分别为 -0.447 ，1.978，3.28，