二次系统（Ⅲ）n=0的极限环.pdfVIP

第21卷 第3期 青 岛大学 学报 (自然 科学版 ) Vol_21NO．3 2008年 9月 JOURNALOFQINGDAOUNIVERSITY (NaturalScienceEdition) Sep．200 8 文章编号 ：1006—1037(ZOO8)03—0008—04 二次系统 (Ⅲ n=O的极限环 夏 青 (青岛大学数学系科学，青岛266071) 摘要 ：利用一个时间变换 ，将二次系统 (Ⅲ)一。变为新系统 (E)—— 它与二次系统 (Ⅲ)：。 有相同的奇点 0(0，O)和相同个数的包围0(O，0)的极限环 ，通过对系统(E)的研究，得到 了二次系统(11I)：。在 O(O，O)外没有极限环 的充分条件 ，由此，部分证 明了叶彦谦在 《多 项式微分系统定性理论》中的一个猜想。 关键词 ：二次系统 ；极限环 ；焦点量 ；不存在性。 中图分类号 ：O175．12 文献标识码 ：A 主题分类号 ：AMS(2000)34Co5 1 问题提 出 设 叫o，7．Ul，7U．2，72)3为二次系统 (Il1)[1 dx 一 一 4-3x+lx2+z+ 。} (ab≠0) (1) (1十船+by) f 在奇点 O(O，0)的O，1，2，3阶焦点量 。我们知道 ，在研究二次系统极限环时，焦点量起到一个重要作用 ，利用 它们是否同号或异号可 以判别极限环是否不存在或唯一。例如，在文献[2]中，作者提出了一个猜想：“当各 阶焦点量同号 (同为正或同为负)时，则在 0(o，O)外不存在极限环”(见文献[2]中229页)。最近这一猜想在 文献[3]中已经 “基本得到证实”。同样，在文献[2]中作者还提出了另一个猜想：若“在 (1)式的系数中让某一 个变动而其它固定 ，使有 一砌2一 3—0，砌1≠0 (2) 则没有绕 o(o，0)的极限环”，见文献[2]中616页。 显然 ，在这一猜想中O(O，O)是一阶细焦点。我们看到 ，前一猜想要求 叫 、LU、训。严格同号 ，不包含等于 零的情形 。而后一猜想则要求 W 一W3—0。 本文就具有一阶细焦点的二次系统(1]I)一。 竿一一v+zz+ zvJ Q 1 (3) ， 一z(1+aX+6)I 来证明这一猜想。因为当 一 一0时(1)式没有极 限环 ，故可设 ≠0。又因为可经相似变换将 化为 1， 另外可设 zO，否则可通过变换 一一 一一t使 lO。因而 (3)式可化为 dx --y++zl (4) 一zc +。 +6 ，f，一口+2。≠。’∞ 收稿 日期 ：2007一O6—2O 作者简介 ：夏青(1956一)，女，副教授 ，研究方向为微分方程定性理论