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第21卷 第3期 青 岛大学学报 (自然科 学版 ) VoI．21NO．3 2008年 9月 JOURNALOFQINGDAOUNIVERSITY (NaturalScienceEdition) Sep．2008 文章编号：1006—1037(2008)03—0001—03 三角代数上的可乘同构 纪培胜，綦伟青 (青岛大学数学科学学院，青 岛266071) 摘要：设 丁是三角代数，R是任意环。映射 ：T—R称为可乘同构，指 是双射，且满足 任给a，bET，有 co(ab)一 (口) (6)。用矩阵分块 的方法证明在一个简单 的条件下 T到 R 上的可乘同构是可加的。另外给出从 T到R上的可乘同构的一个充要条件 。 关键词：三角代数 ；可乘同构 ；可加性 中图分类号：0177．1 文献标识码 ：A 主题分类号：16S50，47D40 设 R ，R是任意环。映射 ：R一尺称为可乘 同构 ，指 是双射 ，且满足任给a，bffR ，有 (n6)一 (口) qKb)。一个有趣的问题是研究环上的乘法结构与加法结构之间的关系。这方面有大量文献，如[1—4]。其 中MartindaleE在环 R 上建立 了一些条件使得从 R 到R上的任意可乘 同构是可加的。陆芳言 证明了 当R 是套代数中的标准子代数时从 R 到R上的任意可乘同构是可加 的。本文将这一结果推广到一般的 三角代数 T上来 ，即第一部分中的定理 1．1。在第二部分给出从 T到尺 上的可乘同构 的一个充要条件。 设A，B是交换环R上的代数，x是忠实的(A，B)～双模。集合 TrA，x，B，一{(。)：aEA,xEX,bEB} 在正常的矩阵加法和矩阵乘法下构成的R_代数称为三角代数。 三角代数的概念首先 由Cheungl5引入。它包括许多非 自伴算子代数 ，如非平凡套代数 中的标准子代 数 。后来人们研究 了三角代数 中的许多问题 ，如 [5—9]。 1 可加性 本部分的主要结果如下 。 定理 1．1 设 T是三角代数 Tri(A，x，B)，R是任意环。如果满足 (T1)设zEx，如果任给 aEA，bEB，都有 nz6—0，则 z一0。 则从 丁到R上 的可乘同构都是可加的。 注意到条件 (T1)等价于下面条件 。 (T2)设 zEX，如果任给 口EA，都有 nz===0，或任给 bEB，都有 6=0，则 zI一0。 由于 X是忠实的(A，B)一双模 ，(T2)可推出(T3)。 (T3)设 5∈T，如果任给t∈T，都有 st=0，和 s一0，则 s一0。 定理的证明采用矩阵分块的技巧 。这个办法首先 由MatindaleE给出，后来多人采用这个办法来解决 问 题。记T一{(口：)：aEA}，T==={(。)：z∈x}，T。一{(：)：6EB)。显然T—T④T。o T2。下面记号a (1≤ ≤2)表示aE ，同时也表示相应于A，x，B中的元。显然当 ≠忌时，aqa一0。 * 收稿 日期 ：2008—03—2O 基金项 目：国家 自然基金 ，山东省基金 (Y2006A03) 作者简介 ：纪培胜(1967一)，男，山东人，博士，教授 ，研究方向为算子代数。 2 青 岛大学 学报 (自然科 学版) 第 21卷 下面先证几个引理 。引理 1．1显然。 引理 1．1 (O)一O 引理 1．2 设 s，a，b，c∈丁使得 (5)一 (口)+ (6)+ (c)，则任给 ￡∈ 有 (i)9(st)-~-9(at)+ (6)+ (c)； (ii)9(ts)==：(a)+ (￡6)+ (￡c)。 证 明 因为 是可乘同构 ，所以有 9(st)一 (5) ()一 (n) ()+ (6) ()+ (c) (￡)一9(at)+ (6)+ (c￡)。 同理可证 (ii)。 引理