一类特殊微分方程的解.pdfVIP

第21卷第6期 四川理_T-学院学报 (自然科学版) VoI．21No．6 J0URNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF 2008年 12月 SCIENCE ＆ENGINEERING(NATURALSCIENCE EDITION) Dec．2008 文誊编号：1673-1549(2008)06—0006-03 一 类特殊微分方程的解 龚东山 ，贾筱景z，牛富俊 (1．兰州大学数学与统计学院，兰州 730000；2．甘肃政法学院计算机科学学院，兰州 730070； 3．中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室，兰州 730000) 摘 要：为了探究一类非线性微分方程的解，先提出独立通解(UGS)的概念，得到了齐次微分方程的解，其解 是由若干个独立通解共同构成的 对于非齐次情形，该方程或者无解或者有多组解(其中每组解为一对关于 轴对 称的函数)。 关键词：非线性；非齐次；微分方程；独立通解；解 中图分类号：0175．1 文献标识码：A 引 言 Yl)和 y2(,O的任何线性组合都不是方程 (2)的解，则称 对于非线性微分方程，能够得到解析解的类型较 c )和 czy )(c 为任意常数)是方程 (2)的两个独立 少，一般仅限于可 以通过变量代换化为线性方程、可积 通解。 方程、降阶化等情形 1【j。对于这类方程，常用数值解法求 引理 2方程 (2)的解只有 y=ce 形式 (其中C为任 其近似解I或定性地讨论其解的性质131。本文针对下面一 意常数，为特征方程 (3)的根)。 类特殊的非线性非齐次方程： 证明 设A，和A是特征方程 (3)的两个根，由方程 (y)2+aty)，+n (其中 01、A为常数) (1) (2)可得 ：(y-Aor)(y-k2y)=0。 试图通过分析的方法得到该方程的解，并揭示这类非线 于是方程 (2)的解Y满足：y-ACt=0或 y-Azy=0，从 性方程解的结构。 而方程 (2)的解为：Yl=c，e 或yz=c~e (其中c1和 c2均为 l时方程 (1)的解 任意常数)。 为了求解齐次方程 定理 1方程 (3)的特征根与方程 (2)的解之间的关 系为： )2+Ⅱy 0 (2) 设y=e 为待定参数)为其解，代入方程 (2)得其 ①若A (：l，21是方程 (3)的互异单实根，则方程 特征方程： (2)的解是由下列 2个独立通解：=ce 、 (其中 A2+口lA+n2=0 (3) C。和 c。均为任意常数)共 同构成。 引理 1若y )是方程 (2)的解 ，则 cy )(c为任意常 ②若A是方程 (3)的重实根，则方程 (2)的解为：，= 数)是方程 (2)的一个通解。 ce (其中c为任意常数)。 证明 若 y )是方程 (2)的解，易知 cr(x)(c为任意 ③若A= 土 是方程 (3)的～对共轭复根，则方程 常数)也满足方程 (2)，从而得证cy(,O是它的一个通解 。 (2)的解是 由2个独立通解： 定义 1若y，∽和 )都是方程 (2)的解，且 wit )，