Salagean类单叶调和函数的特征.pdfVIP

第29卷 第2期 华 侨 大 学 学 报 (自然 科 学 版 ) Vo1．29 No．2 2008年 4月 Journal of Huaqiao University(Natural Science) Apr．2008 文章编号： 1000—5013(2008)02—0308—04 Salagean类单叶调和函数的特征 吴瑞溢，黄心中 (华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021) 摘要： 研究由Salagean定义的函数族SH(m， ；口)及其子族SH(m， ；口)，得到SH(m， ；口)类的子族 SffK(m， ；a)具有拟共形映照的性质．同时，研究SH(m， ；a)函数类的凸像性质．对Salagena函数类的偏差定理、拟共 形性质及凸像区域性质做进一步的研究，改进Yalein得到的一些结果． 关键词： 拟共形映照；调和拟共形映照；单叶调和函数；凸像 中图分类号： O 174．55 文献标识码： A Clunie等 研究了单叶调和函数，得到不少类似于单叶函数的性质，如偏差定理、Bloch常数、凸性 区域等．对单叶调和函数的研究，一方面，可以看成是研究单叶函数的推广，另一方面又与调和拟共形映 照有密切的联系．最近，在这方面的研究相当活跃，文[2—4]的结果是很有说服力的．区域D上的复值连 续函数厂(z)一u(x， )+iv(x， )是调和的，意指u(x， )和v(x， )在 D内皆是调和的．当D为任何单 连通区域时，厂(z)可表示为厂(z)一，l(z)+ ，其中，l(z)，g(z)是D上的解析函数．用s 表示单位圆 盘U一{z【I zI1}内调和，且满足正规化条件f(O)一0，f：(0)一1的单叶函数族，那么对厂一h+g∈ S ，解析函数h和g可表示为 ，l(z)一z+ ∑akz ， g(z)一 ∑6^z ， I b1 I：1， z∈U． (1) 为进一步研究S 类的几何性质，Salagean嘲引入作用于具有式(1)的调和函数的微分算子，即 D 厂(z)一 D h(z)+(一1) D g(z)． (2) 在式(2)中，D h(z)一z+∑kma^z ，D g(z)一∑kb^z ．对0≤a1，mEN一{1，2，3，…}， ∈No一{0， 1，2，…}， ，用s ( ， ；a)表示．厂(z)是由式(1)表示的调和函数，满足Re{ 等}a．用 ( ， ；a)表示S ( ， ；a)的子族， 一，l+ ∈ ( ， ；a)，h和g 可表示为 h—z一 ∑akz ， g 一 (一1)一 ∑ z ， a^，b^≥0． (3) 最近，YalcinE 对函数族S ( ， ；a)及其子类亏 ( ， ；a)做了进一步深入的研究，证明了SH( ， ；a) 类的单叶性问题．并对 ( ， ；a)类的偏差定理、极值点的条件以及凸像区域等问题进行了系统地研 究．本文将进一步研究S ( ， ；a)， “( ， la)两类函数族的性质，改进~E6-1的一些结果． 1 主要结果及其证明 定理1 设厂一，l+ 为具有形式(1)的调和函数，满足 薹( I+ I b I)≤2， (4) ^=1 1 一 a 1 一 a 收稿日期： 2007—07-03 作者简介： 吴瑞溢(1982一)，男；通讯作者：黄心中(1957一)，男，教授，主要从事函数论的研究．E-mail：huangxz@hqu． edu．ca． 基金项目： 福建省自然科学基金资助项目(Z0511025) 第2期 吴瑞溢，等：Salagean类单叶调和函数的特征 3O9 其中，n 一1，mE N，nE N。，0≤a1，f在U内保向单叶调和且厂∈SH( ， ；a)． 定理2