2017届高考数学一轮总复习第四章三角函数平面向量与复数第25讲平面向量的基本定理和向量的坐标运算课件文.ppt

* C 5 4 不共线 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) A A -3 B A * 第25讲　平面向量的基本定理和向量的坐标运算 【学习目标】了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.【基础检测】已知向量a＝(1)，b＝(m)，若a∥b则实数m等于() A.－ B. C.－或 D.0 【解析】本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示.a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m＝0＝±.2.已知向量a、b满足|a|＝1b＝(2)，且λa＋b＝0(λ∈R)则|λ|＝. 【解析】当λa＋b＝0则b＝－λa于是|b|＝|λ|·|a|因为b＝(2)，所以|b|＝又因为|a|＝1所以|λ|＝.3.在平面直角坐标系xOy中已知＝(－1)，＝(2).若∠ABO＝90则实数t的值为____. 【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算考查转化思想和运算能力.＝－＝(3－t)由题意知·＝0所以2×3＋2(2－t)＝0＝5. 【解析】本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识意在考查方程设i分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量则a＝－i＋j＝6i＋2j＝－i－3j所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)根据平面向量基本定理得λ＝－2＝－所以＝4. 4.向量a在正方形网格中的位置如图所示.若c＝λa＋μb(λR)，则＝____. 【知识要点】平面向量基本定理如果e和e是一个平面内的两个向量那么对于该平面内的任意向量a有且只有一对实数λ使a＝λe1＋λe2.我们把不共线的向量e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平在平面直角坐标系内分别取与x轴轴方向相同的两个单位向量i作为基底对于平面上任一向量a由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x使得a＝xi＋yj.这样平面内的任一向量a都可由x唯一确定我们把有序数对(x)叫做向量a的坐标记作a＝(x)，把a＝(x)叫做向量的坐标表示a|＝叫做向量a的长度(模). 3.平面向量坐标运算向量的加减法 若a＝(x)，b＝(x)，则a＋b＝a－b＝. 实数与向量的积 若a＝(x)，λ∈R， 则λa＝. 向量的坐标 若起点A(x)，终点B(x) 则＝. 4.两向量平行和垂直的坐标表示(1)设a＝(x)，b＝(x)，则a∥b－y＝0.(2)设a＝(x)，b＝(x)，则a⊥b＋y＝0. 一、用向量解决平面几何问题例1已知O为坐标原点(0，2)，B(4，6)，＝t＋t. (1)求证：当t＝1时不论t为何实数A、B、M三点都共线；(2)若t＝a求当⊥且△ABM的面积为12时a的值. 【解析】由条件知＝t＋t＝t(0，2)＋t(4，4)＝(4t＋4t). (1)证明：t1＝1时＝(4t＋2).＝－＝(4)，＝－＝(4t)＝t， ∴A、B、M三点共线. (2)当t＝a时＝(4t＋2a). 又＝(4)，⊥. ∴4t2×4＋(4t＋2a)×4＝0＝－a故＝(－a)，又||＝4点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.＝12||·d＝×4×|a－1|＝12解得a＝±2故所求a的值为±2. 二、向量平行与垂直的条件及应用例2已知：a、b、c是同一平面内的三个向量其中a＝(1). (1)若|c|＝2且c∥a求c的坐标；(2)若|b|＝且a＋2b与2a－b垂直求a与b的夹角θ. 【解析】(1)设c＝(x)，由c∥a和|c|＝2可得：，∴或c＝(2)，或c＝(－2－4).(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)(a＋2b)·(2a－b)＝0即2a＋3a·b－2b＝0 ∴2|a|2＋3a·b－2|b|＝0＋3a·b－2×0， 所以a·b＝－＝＝－1[0，π]，∴θ＝ 【点评】弄清楚向量平行和垂直的等价转化条件即可. 三、向量基本定理及应用例3已知点O是△ABC内的一点＝150＝90设＝a＝b＝c且|a|＝2b|＝1c|＝3试用b和c表示a. 【解析】以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系.由OA＝2＝120所以A(2)，即A(－1)，易求B(0－1)(3，0)，设＝λ＋λ，即(－1)＝λ(0，－1)＋λ(3，0)， ，.∴a＝－b－c. 【点评】若题设条件中向量种类较多时可考虑应用向量的基本定理利用基向量表示所研究的全体向量. 四、平面向量与函数的综合问题在平面直角坐标系xOy中已知向量ab，＝＝1a·b＝0点Q满足＝(a＋b).曲线C＝{P|＝acos＋bsin区域Ω＝{P|0r≤||≤R若C∩Ω为两段分离的曲线则() A.1rR3 B.1r3≤R C.r≤1R3 D.1r3