两自由度非线性系统1：3内共振的渐近摄动分析.pdf

第１３卷第２期２０１５年４月 动力 学 与控 制 学报 Ｖｏｌ．１３Ｎｏ．２ １６７２６５５３／２０１５／１３ ／９７４ Ａｐｒ．２０１５ ⑵ ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ 两自由度非线性系统 １：３内共振的渐近摄动分析 １，２ １ 胡海良 　张伟 （１．北京工业大学机电学院，北京　１００１２４）（２．浙江师范大学数理与信息工程学院，金华　３２１００４） 摘要　提出了一种改进的渐近摄动法，并用该方法研究了同时含平方项和立方项的两自由度非线性系统在 １：３内共振情况下的非线性动力学行为．分别在平均方程和原方程的基础上得到了幅频响应曲线和分叉图， 对比表明两种结果基本吻合．改进后的渐近摄动法比原有渐近摄动法更容易应用于１：３内共振情况． 关键词　改进的渐近摄动法，　１：３内共振，　幅频响应曲线，　分叉图，　平方项 ＤＯＩ：　１０．６０５２／１６７２６５５３２０１４００７ 系统在１：３内共振情况下的非线性动力学行为．与 引言 原方程数值结果对比表明，改进的渐近摄动法是研 工程中许多模型的运动方程都可以表示成具 究两自由度非线性系统１：３内共振的有效工具． 有平方项和立方项的多自由度非线性系统，如复合 １　渐近摄动分析 材料层合板、功能梯度材料板的非线性振动．很多 学者用不同的近似解析方法研究了这类系统的非 考虑如下两自由度非线性系统 ［１－３］ ２ 线性动力学行为 ． ｘ¨＋ ｘ＋ａｘ＋２ａｘｃｏｓ（ ｔ）＋ａｘｘ＋ ω ε ε Ω １ １ １ １ １ １ １ ２ ３ １ ２ 通常情况下，非线性系统近似解的高阶项不会 ２ ２ ２ ３ 　ａｘ＋ａｘ＋ａｘｘ＋ａｘ＝２ｆｃｏｓ（ ｔ） ４ ２ ５ １ ε６ １ ２ ε７ １ １ Ω１ 影响定性行为．然而，对具有平方项和立方项的非 （１ａ） 线性系统来说，必须求出高阶近似解以更准确地描 ２ ｘ¨＋ ｘ＋ｂｘ＋２ｂｘｃｏｓ（ ｔ）＋ｂｘｘ＋ ω ε Ω ２ ２ ２ １ ２ ２ ２ ２ ３ １ ２ ［４］ 述系统特征．Ｍａｃｃａｒｉ 在暂态时间尺度和谐波平 　ｂ２ ２ ２ ３ ｘ＋ｂｘ＋ｂｘｘ＋ｂｘ＝２ｆｃｏｓ（ ｔ）