1数值分析的对象与特点.doc

§1。数值分析的对象与特点 随着计算机的发展，人们对计算方法的需要就显的越来越重要，同一个问题选择的计算方法不同所得结果就完全不一样。当然人力，物力，财力等的消耗也不尽相同。《数值分析》课程的主要内容就是研究如何较好的处理数学模型问题。它是数学的一个重要分支，其内容不像纯数学那样只研究理论，而是着重研究求解的数值方法及相关的理论。这些理论包括方法的收敛性，稳定性及误差分析。 数值分析课程的特点：既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。 §2。误差的来源及误差分析的重要性 我们先来考察一下用计算机解决实际问题的主要过程： 实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→→上机求结果 在以上的过程中可以产生下列误差： 模型误差：由实际问题转化为数学模型时产生的误差。 观测误差：由观测产生的误差。 截断误差（方法误 差）：近似解与精确解之间的误差。 今求，则有 由于不可能得到精确值，若取，则 此时的截断误差为 另外，由于计算机在计算过程中并非是精确运算，它也是只对有限位数进行运算，对于超过位数的数字便自动施行四舍五入，这样在计算过程中又产生一定的误差，这种误差称为舍入误差。 本课程主要研究截断误差和舍入误差。以下举例说明误差分析的重要性。 例 求 解：容易求得， 而是个无理数，不可能取到精确值，今取，得到一个递推公式： 计算结果见下表： 0 0 ↓ 0 0↑ 1 0.088392216 1 0.088392216 2 0.058038918 2 0.058038919 3 0.043138742 3 0.043138734 4 04 0 5 05 0 6 06 0 7 0 ↓ 7 0 ↑ 8 0 ↓ 8 0 ↑ 9 09 0 10 -010 0 11 0.017324710 11 0.014071338 12 -0.003290219 12 0.012976641 13 -0.093374172 13 0.012039867 14 -014 0.0112229233 15 2.0438787 ↓ 15 0.010520499 ↑ 16 -10.156890 16 009897504 17 50.843276 17 0.009336007 18 -254.16082 18 0.008875522 19 1270.8567 19 0.0082539682 20 -6354.2338 ↓ 20 0.0087301587↑ 注：上表前两列是由公式计算所得值，后两列是由以下的公式计算所得值。 我们分析一下的特性： ⅰ ⅱ ；ⅲ ；ⅳ 由此可知公式计算的值是不可应用的。那么怎样计算才能使结果可靠呢？由公式的递推公式及 可知，，所以，取，显然误差是比较大的。建立以下递推公式： 由式重新计算到的值（上表的后两列）。可见尽管的初值取的比较粗糙，但计算到及时还是比较精确的。以下我们来分析两式的区别。 由于计算机只能对有限位数进行计算，当取用式计算时，因为带有的误差会一直传下去。具体传播过程为，设为理论值；为实际计算值，则有 == （2-1） 尽管误差很小，但是却是很大的。而用式时，有 = （2-2） 尽管误差很大，但是却是很小的。由以上两式知，一个是误差在积累，一个误差在 缩小。我们称舍入误差积累的递推公式（比如）为不稳定的，而称舍入误差缩小（至 少不增）的递推公式（比如）为稳定的计算公式。 §3。误差的基本概念 3-1 误差与误差限 定义1 设为精确值，为的一个近似值，称为近似值的绝对误差。（简称误差）。 由于精确值是不知道的，所以误差是不可计算的。通常只能估计，常用来估计，我们称为误差限。 3-2 相对误差与相对误差限 定义2 称为的相对误差。（与同上） 由于是不知道的，所以通常取作为的相对误差。这时产生的误差可忽略不计。同样，我们把其绝对值的上界称为相对误差限。记作 。 3-3 有效数字 我们知道，当精确值 有很多位数时，常按四舍五入的原则取其前几位数字作为其近似值。 例： 若取,或取 ，则它们分别具