1-1第三部分数学归纳法-龙腾文化.pdf

彰化高中 林典蔚 1-1 第三部分 數學歸納法 研究一個科學問題時，歸納法是很常用的方法，而歸納法常常從觀察開始。一個生物學家會觀 察鳥類、昆蟲的生活；一個晶體學家會觀察晶體的形狀；當然一個對數論感興趣的數學家會觀察整 數的一些性質。從一個日常生活的例子談起 ： 我們常以一個人平常的表現來斷言一個人將來的表現，如：阿金今天數學考一百分， 明天也考一百分，連續一個星期甚至一個月都考一百分，很難得的是，阿金在期末考 以前的數學測驗 成績都考一百分，而明天即將要舉行期末考，因此就有人根據過往的 經驗斷言，阿金明天也會考一百分，你覺得，有道理嗎？ 從上述的例子來看，顯然我們無法推論阿金期末考數學測驗也會考100 分，理由是過去的狀態， 僅提供對於未來狀態的猜測，但顯然這個猜測是很薄弱的。同樣的，數學家在研究某個定理前，也 常透過觀察、歸納而得出一些猜想，以下我們給出一個數學例子： 質數，又稱為素數，指一個大於 1的自然數中，除了 1跟整數自身 以外，無法被其他 自然數整除的數。換句話說，只有兩個正因數（ 1和自己）的自然數就是質數。過去 曾有人做過以下的驗算： 2 1 +1+41 43 2 2 +2 +41 47 32 +3 +41 53 4 2 +4 +41 61  上述計算得出的數字43 、47 、53 、61 、 均為質數，因此人們就得出以下猜想  2 n 設 為正整數，則 的值必為質數 n +n +41 現在就讓我們想想，這樣的猜想是正確的嗎？ 如果我們僅驗證1 ~ 39之間的正整數，則幾乎可以斷言n 2 +n +41 的值必為質數，可惜的是當 n 40 時，n 2 +n +41 40 2 =+40 +41 40 =×41+41 412 顯然不是質數，因此上述的猜想是錯的。至 此可發現，一個數一個數地驗證並歸納，雖然提供人們大膽假設的勇氣，但問題在於正整數有無限 多個，無法透過一一計算來驗證猜想的正確與否。為了驗證猜測是正確的﹐以下我們介紹一種證明 的方法：數學歸納法 ，我們先給一個故事： 國王的賀禮 好久以前，有一位國王叫阿金 ，有一天正逢國王生日，於是大臣們紛紛前來祝賀。 王大臣：國王阿！祝你長命百歲。 張 大臣：國王阿！希望國王可以帶領我們直到千秋萬世 。 范大臣：國王阿！希望你還有明天 此時，國王大怒，並吩咐侍衛將范大臣拖出去斬了 ！ 范大臣：我親愛的國王，請稍等，讓我把話說完，我剛剛的意思是，我祝福國王， 從今天開始，您永遠有明天。 國王想了許久，接著笑顏逐開，公開稱讚范大臣的祝賀並給予許多賞金。 請同學們想一想，這是為什麼呢？ 這個例子我們知道因為國王今天活著，而後透過永遠有明天 的規則，國王將可以永生不死。在 數學上我們也可運用上述的邏輯驗證猜想的正確與否，底下我們將給同學們玩個遊戲，首先我們先 介紹這個遊戲的名稱與遊戲規則： ~ 1~ 龍騰文化 彰化高中 林典蔚 河內塔 傳說在古老